R त्रिज्या के किसी छल्ले की लम्बाई के अनुदिश कुल आवेश `-Q` को एक समान रूप से फैलाया गया है। द्रव्यमान m के छोटे परीक्षण आवेश `+q` को छल्ले के केन्द्र पर रखकर चले के अक्ष के अनुदिश धीरे से धकेला जाता है।
(a) दर्शाइए कि कण सरल आवृत दोलन करता है।
(b) इसका आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।

Explanation

छल्ले के अक्ष के अनुदिश q को धीरे से दिया गया धक्का चित्र [b] में दर्शायी स्थिति उत्पन्न करेगा। छल्ले के व्यास के दो सिरों पर A तथा B दो बिन्दु है।
A तथा B पर रेखा अवयवों `(-Q)/(2piR)` के कारण q पर बल
`F_(A+B)=2.(-Q)/(2piR).q.(1)/(4piepsilon_(0)).(1)/(r^(2)).costheta`
`=(-Qq)/(piR.4piepsilon_(0)).(1)/((z^(2)+R^(2))).(z)/((z^(2)+R^(2))^(1//2))`
q पर छल्ले के कारण कुल बल `=(F_(A+B))(piR)`
`=(-Qq)/(4piepsilon_(0))(Z)/((Z^(2)+R^(2))^(3//2))`
`~=(-Qq)/(4piepsilon_(o))zltltR` के लिए

इस प्रकार बल ऋणात्मक विस्थापन के अनुक्रमानुपाती है। ऐसे बलों के अधीन गति सरल आवर्त गति होती है।
(b) प्रश्न के भाग (a) से
`m(d^(2)z)/(dt^(2))=-(Qqz)/(4piepsilon_(o)R^(3))` अथवा `(d^(2)z)/(dt^(2))=-(Qq)/(4piepsilon_(o)R^(3))z`
अर्थात `omega^(2)=(Qq)/(4piepsilon_(0)mR^(3))`. अतः `T=2pisqrt((4piepsilon_(0)mR^(3))/(Qq))`