`rho` घनत्व के किसी अश्यान द्रव को चित्र में दर्शाए गए अनुसार अनुप्रस्थ-परिच्छेद के क्षेत्रफल A वाली किसी नली में भरा जाता है। यदि द्रव को एक भुजा में थोड़ा सा दबाया जाता है, तो द्रव स्तंभ किस आवृत्ति के साथ दोलन करेगा?

Options

A. `(1)/(2pi)sqrt((rhogAsin((theta_(1)+theta_(2))/(2)))/(m))`
B. `(1)/(2pi) sqrt((rhogA(sin theta_(1)-sin theta_(2)))/(m))`
C. `(1)/(2pi) sqrt((rhogA(sin theta_(1)+sin theta_(2)))/(m))`
D. `(1)/(2pi) sqrt((rhogAsin((theta_(1)-theta_(2))/(2)))/(m))`

Answer

C

Explanation

आरंभ में, द्रव का स्तर दोनों भुजाओं में समान होगा। यदि द्रव को एक भुजा में y तक दबाया जाए तो यह अन्य भुजा में y ऊँचाई तक बढ़ जाएगा। दोनों भुजाओं में द्रव का स्तर बनाए रखने के लिए उत्तरदायी बल होता है -
`F=-DeltaPA= -(h_(1)+h_(2))rhogA`,
जहाँ `DeltaP` दाबान्तर है तथा A नली के अनुप्रस्थ परिच्छेद का क्षेत्रफल है, `h_(1)` एवं `h_(2)` क्रमशः ऊर्ध्वाधर दिशा में दोनों भुजाओं में द्रव स्तर पर वृद्धि एवं कमी है।
`F= -(y sin theta_(1)+ysin theta_(2))rhogA`
`= -rhogA(sin theta_(1)+sin theta_(2))y" "...(i)`
`ma= -rhogA(sin theta_(1)+sin theta_(2))y`
या `a=(rhogA(sin theta_(1)+sin theta_(2))y)/(m)`
सरल आवर्त गति के लिए `a=-omega^(2)y" "...(ii)`
समीकरण (i) व (ii) की तुलना करने पर,
`omega^(2)=(rhogA(sin theta_(1)+sin theta_(2)))/(m)`
`omega=sqrt((rhogA(sintheta_(1)+sin theta_(2)))/(m))`
आवृत्ति, `upsilon=(omega)/(2pi)=(1)/(2pi) omega=sqrt((rhogA(sintheta_(1)+sin theta_(2)))/(m))`