m द्रव्यमान का एक कण, आयाम A एवं कोणीय आवृत्ति `omega` से सरल आवर्त गति कर रहा है। आवर्त काल पर गतिज ऊर्जा एवं स्थितिज ऊर्जा का औसत मान क्या होगा?

Options

A. `0, (1)/(2)m omega^(2)A^(2)`
B. `(1)/(2)m omega^(2)A^(2), 0`
C. `(1)/(2)m omega^(2)A^(2), (1)/(2)m omega^(2)A^(2)`
D. `(1)/(4)m omega^(2)A^(2), (1)/(4)m omega^(2)A^(2)`

Answer

D

Explanation

माना अपनी साम्यावस्था से समय t के किसी क्षण सरल आवर्त गति करते हुए कण का विस्थापन इस प्रकार है,
`x=A cos (omegat+phi)`
वेग , `v=(dx)/(dt) = -omegaA sin (omegat+phi)`
कण की गतिज ऊर्जा,
`K=(1)/(2)mv^(2)=(1)/(2) m omega^(2) A^(2)sin^(2)(omegat+phi)`
कण की स्थितिज ऊर्जा,
`U=(1)/(2)m omega^(2)x^(2)=(1)/(2) m omega^(2) A^(2)cos^(2)(omegat+phi)`
किसी आवर्तकाल पर गतिज ऊर्जा का औसत मान,
` lt K gt =(1)/(T_(0)) int_(0)^(T) Kdt=(1)/(T) int_(0)^(T)( (1)/(2) m omega^(2)A^(2)sin^(2)(omegat+phi)dt`
`(1)/(2T)m omega^(2)A^(2)int_(0)^(T)[(1-cos2(omegat+phi))/(2)]dt`
चूँकि किसी पूर्ण चक्र के लिए या आवर्तका T पर ज्या एवं कोज्या दोनों फलनों का औसत मान शून्य है।
`:.lt K gt =(1)/(4T)m omega^(2)A^(2) [t]_(0)^(t) =(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)T=(1)/(4) m omega^(2)A^(2)`
आवर्तकाल का स्थितिज ऊर्जा का औसत मान,
`lt U gt =(1)/(T) int_(0)^(T) (1)/(2) m omega^(2) A^(2) cos^(2) (omegat+phi)dt`
`=(1)/(2T) m omega^(2)A^(2)int_(0)^(T) [(1+cos2(omegat+phi))/(2)]dt`
चूँकि किसी पूर्ण चक्र के लिए या आवर्तकाल T पर ज्या एवं कोज्या दोनों फलनों का औसत मान शून्य है।
`:. lt U gt =(1)/(4T) m omega^(2)A^(2)[t]_(0)^(T)-(1)/(4T)m omega^(2)A^(2)T=(1)/(4)m omega^(2)A^(2)`