चित्र में दर्शाए अनुसार V आयतन के किसी वायु कक्ष की ग्रीवा (गर्दन) की अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A है। इस ग्रीवा में m द्रव्यमान की कोई गोली बिना किसी घर्षण के ऊपर-नीचे गति कर सकती है। यह दर्शाइए कि जब गोली को थोड़ा नीचे दबाकर मुक्त छोड़ देते हैं, तो वह सरल आवर्त गति करती है। दाब-आयतन विचरण को समतापी मानकर दोलनों के आवर्तकाल का व्यंजक ज्ञात कीजिए।

Options

A. `T=2pi sqrt((Ba^(2))/(mV))`
B. `T=2pi sqrt((BV)/(ma^(2)))`
C. `T=2pi sqrt((mB)/(Va^(2)))`
D. `T=2pi sqrt((mV)/(Ba^(2)))`

Answer

D

Explanation

स्थिति चित्रानुसार है। माना P कक्ष में वायु का दाब है। जब गेंद को x दूरी तक दबाया जाता है, तो वायु का आयतन V से `V-DeltaV` तक घट जाता है। अतः दाब P से `P +DeltaP` तक बढ़ जाता है। आयतन में परिवर्तन,
`DeltaV = ax`
अधिकतम दाब `DeltaP` आयतन प्रत्यास्थता गुणांक B से सम्बंधित होता है, `DeltaP= -B(DeltaV)/(V)`
गेंद पर प्रत्यानयन बल = अधिकतम दाब `xx` अनुप्रस्थ परिच्छेद क्षेत्रफल
या `F= -(B a)/(V)DeltaV` या `F= -(Ba^(2))/(V)x ( :. DeltaV=ax)`
या `F=-kx` जहाँ `k=(Ba^(2))/(V)`
अर्थात्‌, `Fprop-x`
अत:, गेंद की गति सरल आवर्त गति होती है। यदि m गेंद है, तो सरल आवर्त गति का आवर्तकाल,
`T=2pi sqrt((m)/(k))` या `T=2pi sqrt((mV)/(Ba^(2)))`