किसी गेंद को h=9 m ऊँचाई से किसी क्षैतिज प्लेट पर छोड़ा जाता है। यदि प्रत्यानयन गुणांक e= 1/2 है, तो गेंद के विरामावस्था में आने से पहले तय की गई कुल दूरी है

Options

A. 10 m
B. 15 m
C. 20 m
D. 25 m

Answer

B

Explanation

गेंद एवं प्लेट के मध्य संघट्ट, प्रत्यक्ष संघट्ट (Direct impact) है। यदि ॥ संघट्ट के पूर्व गेंद का वेग है, तो इसके पश्चात् वेग eu होता है, जहाँ e प्रत्यानयन गुणांक है। किन्तु `u=sqrt(2gh)` चूँकि गेंद ऊँचाई 1 से गिरती है। इसलिए प्रथम प्रतिक्षेप पर गेंद पर वेग
`=v_(1)=ev=esqrt(2gh)`
वह ऊँचाई `h_(1)` जिस पर यह पहले प्रतिक्षेप के पश्चात् पहुँचेगी-
`h_(1)=(v_(1)^(2))/(2g)=(e^(2)2gh)/(2g)=e^(2)h`
द्वितीय प्रतिक्षेप के पश्चात् वेग `v_(2)=ev_(1)=e^(2)u`
वह ऊँचाई `h_(2)` जिस पर यह दूसरे प्रतिक्षेप के पश्चात् पहुँचेगी।
`h_(2)=(v_(2)^(2))/(2g)=(e^(4)u^(2))/(2g)=(e^(4)2gh)/(2g)=e^(4)h`
सामान्य रूप में, वह ऊँचाई `h_(n)` जिस पर गेंद nवीं प्रतिक्षेप के बाद पहुँचेगी को इस प्रकार से
दिया गया है- `h_(n)=e^(2n)h`
विरामावस्था में आने से पहले गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी
`s=h+2h_(1)+2h_(2)+2h_(3)+.........+2h_(n)+.........``s=h+2h_(1)+2h_(2)+2h_(3)+.........+2h_(n)+.........` to `oo`
`=h+2(e^(2)h+e^(4)h+e^(6)h+..........)`
`=h+2he^(2)(1+e^(4)+e^(4)+..........)`
`s=h+(2he^(2))/(1-e^(2))=h(1+(2e^(2))/(1-e^(2)))=(h(1+e^(2)))/((1-e^(2))`
दिये गये मानों को रखने पर,
`s=(9(1+((1)/(2))^(2)))/((1-((1)/(2))^(2)))=15m`