m द्रव्यमान के एक ग्रह की अपभु (aphelion) तथा उपभु (perihelion) स्थितियों में चाल ज्ञात कीजिए। कक्षा की अर्द्ध लघु-अक्ष a, उत्केन्द्रता e तथा सूर्य का द्रव्यमान M है। ग्रह की कुल ऊर्जा दिये गये प्रांचलों (parameters) के पदों में ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना उपभु तथा अपभु स्थितियों में ग्रह की चालें कमशः `v_(1)` तथा `v_(2)` हैं।

`r_(1)=a(1-e)`
तथा `r_(2)=a(1-e)`
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम से,
`mv_(1)r_(1)sin90^(@)=mv_(2)r_(2)sin90^(@)`
या `v_(1)r_(1)=v_(2)r_(2)`
पुनः दोनों स्थितियों के लिए यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम से,
`1/2mv_(1)^(2)-(GMm)/(r_(1))=1/2mv_(2)^(2)-(GMm)/(r_(2))`
समी (i),(ii) तथा (iii) को हल करने पर,
`v_(1)=sqrt((GM)/a((1+e)/(1-e)))`
तथा `v_(2)=sqrt((GM)/a((1-e)/(1+e)))`
ग्रह की कुल ऊर्जा
`E=1/2mv_(1)^(2)-(GMm)/(r_(1))`
`=1/2m[(GM)/a((1+e)/(1-e))]-(GMm)/(a(1-e))`
`=(GMm)/(a(1-e))[((1+e)/2)-1]`
`=(GMm)/(a(1-e))((e-1)/2)`
या `E=-(GMm)/(2a)`