यदि एक ग्रह अपनी कक्षा में अचानक रुक जाता है। यह सूर्य पर कितने समय में गिर जाएगा?

Options

A. ग्रह के आवर्तकाल का `2 sqrt(8)` गुना
B. ग्रह के आवर्तकाल का `4 sqrt(2)` गुना
C. ग्रह के आवर्तकाल का `3 sqrt(2)` गुना
D. ग्रह के आवर्तकाल का 9 गुना

Answer

A

Explanation

यदि सूर्य का द्रव्यमान ॥ है तथा ग्रह की कक्षा की त्रिज्या r है, तब
`v_(0)=sqrt(GM//r)`
`T=(2pir)/(v_(0))=2pirrArrsqrt(r/(GM))`
अतः `T^(2)=(4pi^(2)r^(2))/(GM)` …(i)
अब, यदि ग्रह (जब कक्षा में रुक जाता है) की चाल v है। जबकि यह सूर्य से x दूरी पर है, यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षण से,
`1/2mv^(2)+(-(GMm)/x)=0-(GMm)/r`
या `(-(dx)/(dt))=(2GM)/r[(r-x)/x]`
अतः `-(dx)/(dt)=sqrt((2GM)/r)sqrt(((r-x))/x)`
या `int_(0)^(1)dt=sqrt(r/(2GM))int_(t)^(0)[x/((r-x))]dx`
`x=rsin^(2)theta` रखने पर तथा RHS को हल करने पर,
`T=sqrt(r/(2GM))xx((pir)/2)`
`t=1/(sqrt4sqrt2)T`, अतः `t=((sqrt2)/8)T`