M द्रव्यमान के तारे के चारों ओर `r_(0)` त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में एक अन्तरिक्षयान घूम रहा है। अन्तरिक्षयान का रॉकेट इंजन, इसके वेग (तात्क्षणिक) में `Delta v` का परिवर्तन कर सकता है। फायरिंग की दिशा,यान का वेग v तथा यान के अग्र से पश्च भाग के सदिश के बीच बने कोण `theta` द्वारा मापी जाती है। लगातार N फायरिंगों में ईंधन को संरक्षित करने के लिए, `Delta v = sum_(i=1)^(N) |Deltav_(i)|` को कम करना पड़ेगा, जहाँAV विशिष्ट आवेश है, हम चाहते हैं कि यान का इंजन तारे में क्रैश हो जाए (तारे की त्रिज्या को नगण्य माना जाए)
तारे से पलायन करने के लिए कम-से-कम कितने विशिष्ट आवेग की आवश्यकता है, यदि इंजन एक बार में तेजी से फायर करता है?

Options

A. `sqrt((GM)/(r_(0)))`
B. `sqrt((GM^(2))/(r_(0))) (sqrt(2)-1)`
C. `sqrt((GM)/(r_(0))) sqrt(2)`
D. `sqrt((GM)/(r_(0))) (sqrt(2) -1)`

Answer

D

Explanation

माना `v_(0)` अन्तरिक्षयान की `r_(0)` त्रिज्या वाली कक्षा में चाल है तथा `v_(e)` कक्षा के लिए पलायन वेग है। तब,
`(mv_(0)^(2))/(r_(0))=(GM_(m))/(r_(0)^(2))` तथा `(mv_(e)^(2))/2=(GM_(m))/(r_(0))`
या `v_(0)=sqrt((GM)/(r_(0))),v_(e)=sqrt((2GM)/(r_(0)))`
इसी प्रकार, `v_(e)=v_(0)+abs(Deltav)costheta=v_(0)+Deltavcosstheta`
पलायन के लिए आवश्यक विशिष्ट आवेग `theta=0` के लिए न्यूनतम है। अतः अन्तरिक्षयान का प्रारम्भिक वेग तथा आवेग समान दिशा में है तथा निम्न प्रकार दिए जाते हैं
`Deltav=v_(e)-v_(0)=sqrt((GM)/(t_(0)))(sqrt2-1)`