M द्रव्यमान के तारे के चारों ओर `r_(0)` त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में एक अन्तरिक्षयान घूम रहा है। अन्तरिक्षयान का रॉकेट इंजन, इसके वेग (तात्क्षणिक) में `Delta v` का परिवर्तन कर सकता है। फायरिंग की दिशा,यान का वेग v तथा यान के अग्र से पश्च भाग के सदिश के बीच बने कोण `theta` द्वारा मापी जाती है। लगातार N फायरिंगों में ईंधन को संरक्षित करने के लिए, `Delta v = sum_(i=1)^(N) |Deltav_(i)|` को कम करना पड़ेगा, जहाँAV विशिष्ट आवेश है, हम चाहते हैं कि यान का इंजन तारे में क्रैश हो जाए (तारे की त्रिज्या को नगण्य माना जाए)
एक ग्रह वृत्तीय कक्षा में घूम रहा है, जिसकी त्रिज्या, `r_(1) gt r_(0)` है। यदि इंजन फिर से एक बार में तेजी से फायर करता है, तो ग्रह की त्रिज्या में पहुँचने के लिए कम रो-कम कितने विशिष्ट आवेग की आवश्यकता होगी?

Options

A. `sqrt((GM)/(r_(1))[3-2sqrt((2r_(0))/(r_(1)))])`
B. `sqrt((GM)/(r_(i))[(2r_(0))/(r_(1))])`
C. शून्य
D. `sqrt((GM)/(r_(1)))`

Answer

A

Explanation

पहली फायरिंग के बाद, तारे के चारों ओर वृत्तीय कक्षा में घूमने वाला यान वहाँ से पलायन करके एक परवलयिक कक्षा में चलता है। जब वह यान ग्रह की वृत्तीय कक्षा जिसकी त्रिज्या `r=r_(1)` है, में पहुँचता है, तब इंजन फिर से एक बार में तेजी से फायर करता है। यान को एक वृत्तीय कक्षा जिसकी त्रिज्या `r=r_(1)` है, में घूमने के लिए, उसकी चाल `v_(1)=sqrt((GM)/(r_(1)))` होनी व चाहिए माना फायरिंग से पहले जैसे ही यान `r=r_(1)` पर पहुँचता है, उसकी चाल `v_(1e)`है|
आवश्यक संरक्षित कोणीय संवेग
`v_(e)r_(0)=v_(1e)r_(1)cosphi`
या `v_(1e)cosphi=(r_(0)v_(e))/(r_(1))`
दी गई संरक्षित ऊर्जा, `1/2mv_(1e)^( 2)(GM_(m))/(r_(1))`
या `v_(1e)=sqrt((2GM)/(r_(1)) )`
तब आवश्यक न्यूनतम विशिष्ट आवेग
`(Deltav)^(2)=v_(1e)^(2)+v_(1)^(2)-2v_(1e)v_(1)costheta=(2GM)/(r_(1))+(GM)/(r_(1))ve_(v)`
`=(3GM)/(r_(1))-(2r_(0))/(r_(1))sqrt((2GM)/(r_(0)))`
`=sqrt((GM)/(r_(1)))(3-2sqrt((2r_(0))/(r_(1))))`
अतः, `Deltav=sqrt((GM)/(r^(1))(3-2sqrt((2r_(0))/(r_(1)))))`