दर्शाइए कि एक बंद पथ के अनुदिश विद्युत् क्षेत्र का रैखिक समाकलन शून्य होता है।

Explanation

माना स्वतंत्र स्थान में 0 मूल बिन्दु पर पड़े बिन्दु +q के विद्युत् क्षेत्र में AaBbA एक बंद मार्ग है।
माना बिन्दु A और B के स्थिति सदिश क्रमशः `r_(A)` व `r_(B)` है।
a मार्ग पर बिन्दु A व B के बीच विद्युत्-क्षेत्र E का रैखिक समाकलन
`int_(B)^(A)E.dl=(1)/(4pe_(0))q((1)/(r_(A))-(1)/(r_(B)))`
(a एवं b के अनुदिश) `" ".....(1)`
इसी प्रकार विद्युत् क्षेत्र का बिन्दु B व.A के बीच रैखिक समाकलन
`int_(B)^(A)E.dl=(1)/(4pe_(0))q((1)/(r_(B))-(1)/(r_(A)))" "......(2)`
(b के अनुदिश)
यदि बंद पथ (मार्ग) के अनुदिश E का समाकलन `oint_(AaBbA)E.dl`
`underset("(मार्ग a के अनुदिश)")(ointE.dl=int_(B)^(A))E.dl+underset("(मार्ग b के अनुदिश)")(int_(B)^(A)E.dl)`
`=(1)/(4piepsi_(0))q((1)/(r_(A))-(1)/(r_(B)))+(1)/(4piepsi_(0))q.((1)/(r_(B))-(1)/r_(A))=0`