गॉस के प्रमेय को लिखें और सिद्ध करें।

Explanation

गाँस प्रमेय का कथन-किसी बंद सतह पर कुल वैद्युत फ्लक्स का मान कुल घिरे आवेश और निर्यात वैद्युत पारगम्यता के अनुपात के तुल्य होती है।
संकेतन में `ointvecEbardvecS=(q)/(in_(0))`
हाँ वामपक्ष कुल वैद्युत फ्लक्स है तथा नेट (घिरा) आवेश है। प्रमाण-
गॉसीय तल के बिंदु P पर वैधुत क्षेत्र की तीव्रता `vecE` सभी आवेशों , `q_(1),q_(2),q_(3)` एवं `q_(4)` के कारण है। अर्थात्
`vecE=vecE_(1)+vecE_(2)+vecE_(3)+vecE_(4)`

इस क्षेत्र का वैद्युत फ्लक्स है
`phi=ointvecE.vecdvecS=oint(vecE_(1)+vecE_(2)+vecE_(3)+vecE_(4)).vecdvecS`
`-ointvecE_(1).bardvecS+ointvecE_(2).bardvecS+ointvecE_(3).bardvecS+ointvecE_(4).bardvecS`
अब सूत्र `vecE_(1)=(q_(1))/(4pi in_(0)r_(1)^(2))hatr_(1)` का उपयोग करने पर
`ointvecE_(1)bardvecS=(q_(1))/(4p in_(0))oint(dScosq_(1))/(r_(1)^(2))`
चूंकि `(dScostheta_(1))/(r_(1)^(2))` वह घनकोण है जो dS द्वारा आवेश `q_(1)` पर बनाया जाता है, अतः इसका बंद सतह पर समाकलन बंद सतह द्वारा अंदर स्थित बिंदु पर बने घनकोण के बराबर, यानी `4pi` होगा।
`:.ointvecE_(1)vecdS=(q_(1))/(4pi in_(0))xx4pi=(q_(1))/(in_(0))`
इसी प्रकार अन्य अंदर के आवेश के लिए होगा।
`ointvecE_(2).vecdS=(q_(2))/(in_(0))`
बाहर स्थित बिंदु के लिए बंद सतह द्वारा बना घनकोण शून्य होता है,
अत: `ointvecE_(3).vecdS=(q_(3))/(4piin_(0))xx0=0,ointvecE_(4).vecdS=(q_(4))/(4piin_(0))xx0=0`
इस प्रकार `ointvecE.vecdS=(q_(1))/(in_(0))+(q_(2))/(in_(0))+0+0=(q_(1)+q_(2))/(in_(0))`
कुल वैद्युत फ्लक्स नेट घिरे आवेश एवं.`in_(0)` का अनुपात के तुल्य है। (प्रमाणित)