किसी बिन्दु पर विद्युत क्षेत्र के लिए व्यंजक प्राप्त करें जब बिन्दु (i) अक्ष पर है (End-on-position) (ii) निरक्षीय स्थिति (Broad side position) है किसी द्विध्रुव के कारण।

Explanation

माना कि AB कोई द्विध्रुव है जिसकी लंबाई (21 = AB) तथा आवेश क्रमशः -q तथा +b है।
विद्युतीय द्विध्रुव आघूण (P)=q.3l
P की दिशा ऋणात्मक आवेश से धनात्मक आवेश की ओर होती है।

जब बिंदु (c) अक्षीय है-माना कि बिंदु C मध्य बिंदु 0 से दूरी पर है।
माना कि `E_(1)` तथा `E_(2)` बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है +q था -q आवेश के कारण।
`E_(1)=(1)/(4piin_(0)).(q)/((BC)^(2))=(1)/(4piin_(0)).(q)/((r-l)^(2))` (B से C)
और `E_(2)=(1)/(4piin_(0)).(q)/((AC)^(2))=(1)/(4piin_(0)).(q)/((r+l)^(2))` (C से A)
यहाँ स्पष्ट है कि `vecE_(1)` और `vecE_(2)` एक ही रेखा पर है लेकिन एक दूसरे के विपरीत है । अतः इनका परिणामी विद्युत क्षेत्र होगा-
`E=E_(1)-E_(2)`
जहाँ E = परिणामी विद्युत क्षेत्र है।
`E=(q)/(4piin_(0))[(1)/((r-l)^(2))-(1)/((r+l)^(2))]=(q)/(4piin_(0))[((r+l)^(2)-(r-l)^(2))/((r^(2)-l^(2))^(2))]`
`E=(q)/(4piin_(0))[(1)/((r-l)^(2))-(1)/((r+l)^(2))]=(q)/(4piin_(0))[((r+l)^(2)-(r-l)^(2))/((r^(2)-l^(2))^(2))]`
लेकिन P=q(2l)= विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण
`E=(1)/(4piin_(0)).(2pr)/((r^(2)-l^(2))^(2))`
यदि द्विध्रुव बिंदु C से बहुत दूर है यानी `rgtgtl`
तब `E=(1)/(4piin_(0)).(2pr)/(r^(4))`
`E=(1)/(4piin_(0)).(2p)/(r^(3))`
यह छोटे द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र है।
(ii) निरक्षीय स्थिति (Equatorialposition) माना कि कोई बिंदु है, जो मध्य बिंदु 0 में दूरी पर स्थिति है। -q तथा +q द्विध्रुव के आवेश तथा 2l द्विवव की लंबाई है।
माना कि `E_(1)` तथा `E_(2)` विद्युतीय क्षेत्र की तीव्रता है बिंदु C पर, क्रमशः +q तथा -q आवेश के कारण।
चित्र से, `BP=AP=sqrt(r^(2)+l^(2))`
`E_(1)=(1)/(4piin_(0)).(q)/((r^(2)+l^(2)))` (B से C की और)
और `E_(2)=(1)/(4piin_(0)).(q)/(r^(2)+l^(2))` (C से A की ओर)

स्पष्ट है,`vecE_(1)` तथा `vecE_(2)` का परिमाण आपस में बराबर है। `vecE_(1)` और `vecE_(2)` विघटन लम्बवत एक दूसरे के विपरीत है तथा परिमाण में बराबर है इसलिए इनका परिणामी बिंदु C पर शून्य होगा!
जबकि क्षैतिज विघटनों का परिणामी `E_(1)+E_(2)` के बराबर होगा तथा दिशा B से.A की ओर होगा।
`:.E=E_(1)costheta+E_(2)costheta`
लेकिन `E_(1)=E_(2)=(1)/(4piin_(0)),(q)/((r^(2)+l^(2)))`
`:.E=2xx(1)/(4piin_(0))(q)/((r^(2)+l^(2)))costheta=(1)/(4piin_(0)).(2q)/((r^(2)+l^(2))).(l)/(sqrt(r^(2)+l^(2)))`
`E=(1)/(4piin_(0))(P)/((r^(2)+l^(2))^(3//2))`
छोटे द्विध्रुव के लिए `rgtgtl`
`:.l^(2)~~0" "E=(1)/(4piin_(0)).(P)/(r^(3))vec(BA)` के समांतर