तरंगों के अध्यारोपण सिद्धांत को समझाइये ।

Explanation

जब दो या दो से अधिक तरंगें किसी माध्यम में एक साथ संचरित होती है तो वे . माध्यम के प्रत्येक कण को एक साथ प्रभावित करती है। यह घटना तरंगों की अध्यारोपण कहलाती है।
तरंगों के अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार "जब दो या दो से अधिक तरंगें किसी माध्यम मेंएक साथ संचारित होती है। तब किसी क्षण माध्यम के किसी कण का परिमाणी विस्थापन अवयवी तरंगों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न विस्थापनों के सदिश योग (vector sum) के बराबर होता है।"
यदि अवयवों तरंगों द्वारा किसी क्षण माध्यम के किसी कण के स्वतंत्र रूप से उत्पन्न विस्थापन क्रमशः `y_(1),y_(2),y_(3).......y_(n)` है तो उस क्षण माध्यम के उस कण का परिणामी विस्थापन `y=y_(1)+y_(2)+y_(3)+.........+y_(n)`
रचनात्मक व्यतिकरण (Constructive interference). तथा विनाशी व्यतिकरण (destructive interference) के लिए शर्ते:
माना, समान आवृत्ति की दो सरल आवर्त प्रगामी तरंगें एक ही दिशा में चल रही है। इन तरंगों के आयाम क्रमशः a और b है। दोनों तरंगें बिंदु P पर अध्यारोपण करते हैं। यदि बिंदू पर किसी क्षण पर विस्थापन क्रमशः `y_(1)` और `y_(2)` हो तो
`y_(1)=asinomegat" "......(i)`
और `y_(2)=bsin(omegat+phi)" "......(ii)`

जहाँ `phi=` कलांतर है।
माना कि अध्यारोपण के बाद परिणामी विस्थापन y है तो, `y=y_(1)+y_(2),y=asinomegat+bsin(omegat+phi)`
`y=asinomegat+bsinomegat.cotphi+bcosomegat.sinphi`
`y=(a+bcosphi)sinomegat+(bsinphi)cosomegat`
माना `a+bcosphi=Acostheta" "......(iii)`
और `bsinphi=Asintheta" "......(iv)`
जहाँ A = परिणामी आयाम है।
`:.y=Asin(omegat+theta)`
समीकरण (iii) और (iv) को दोनों ओर वर्ग कर जोड़ने पर
`A^(2)(cos^(2)theta+sin^(2)theta)=(a+bcosphi)^(2)+b^(2)sin^(2)phi`
`A^(2)=a^(2)+abcosphi+b^(2)cos^(2)phi+b^(2)sin^(2)phi`
`A^(2)=a^(2)+b^(2)+2abcosphi`
`A=sqrt(a^(2)+b^(2)+2abcosphi)" "......(v)`
समीकरण (iv) को समीकरण (iii) से भाग देने पर
`tantheta=(b.sinphi)/(a+bcosphi)`
चूँकि तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुक्रमानुपाती होती है, अतः P पर तीव्रता
`I_(a)=Ka^(2)` और `I_(b)=Kb^(2)`
परिणामी तीव्रता
`IpropA^(2)I=KA^(2)`
`I=K(a^(2)+2abcosphi+b^(2))`
`I=Ka^(2)+K.2abcosphi+Kb^(2)" "I=I_(a)+2sqrt(I_(a).I_(b))+I_(b)`
रचनात्मक व्यतिकरण के लिए
`cotphi=-1` अर्थात् `phi=pmpi,3pi........`
`phi=pm(2m+1)pi`
जहाँ `m=0,1,2,3.......`
`A_(max)=sqrt(a^(2)+b^(2)+2ab)=(a+b)`
तथा `I_(max)=I_(1)+I_(2)+2sqrt(I_(1),I_(2))=(sqrt(I_(1))+sqrt(I_(2)))^(2)`
विनाशी व्यतिकरण के लिए
`cotphi=-1` अर्थात् `phi=pmpi,3pi.......`
`phi=pm(2m+1)pi`
जहाँ `m=0,1,2,3" "A_(min)=a-b`
और `I_(min)=(sqrt(I_(a))+sqrt(I_(b)))^(2)`