किसी वक्र सतह पर अपवर्तन के लिए सिद्ध करें कि `(mu_(2))/(v)-(mu_(1))/(u)=(mu_(2)-mu_(1))/(r)` जहाँ पदों के सामान्य अर्थ है।

Explanation

माना कि MN एक वक्र सतह है जिसकी वक्रता त्रिज्या R है तथा ये सतह दो माध्यमों को अलग करती है। जिसका अपवर्तनांक क्रमशः `mu_(1)` तथा `mu_(2)(mu_(2)gtmu_(1))`

माना कि i आपतन कोण है तथा OA आपति किरण है। अपवर्तन की घटना के बाद वस्तु O का प्रतिबिम्ब I पर बनता है। r अपवर्तित कोण है।
इसलिए `angleOAN=i,angleIAC=r`
माना `angleAOP=alpha,angleACP=theta` और `angleAIP=beta` सभी कोणे बहुत छोटी हैं।
`:.` समकोण त्रिभुज OPA में `tanalpha=(PA)/(-u)" "( :.OP=-u)`
समकोण `DeltaAPC` में `tantheta=theta=(AP)/(R)`
समकोण `DeltaAPI` में `tanbeta=beta=(AP)/(V)`
`DeltaOAC` में `alpha+theta=i`
`theta=i-alpha" "......(i)`
`DeltaIAC`
`theta=r+beta" ".........(ii)`
समीकरण (i) और (ii) से
`i-alpha=r+beta,i-r=alpha+beta`
स्नेल के नियम से, `(mu_(2))/(mu_(1))=(i)/(r)" "( :.(sini)/(sinr)=(i)/(r))`
`(mu_(2))/(mu_(1))r-r=beta+alpha`
`r(mu_(1)+mu_(1))=mu_(1)beta+mu_(1)alpha`
r का मान समीकरण (ii) से देने पर
`(theta-beta)(mu_(2)-mu_(1))=mu_(1)beta+mu_(1)alpha`
`theta(mu_(2)-mu_(1))-betamu_(2)+betamu_(1)=mu_(1)beta+mu_(1)alpha`
`theta(mu_(2)=mu_(1))=betamu_(2)+mu_(2)alpha`
`theta,alpha` तथा `beta` का मान देने पर
`(mu_(2)-mu_(1))(AP)/(R)=(mu_(2)AP)/(v)+mu_(1)(AP)/(-u)`
`(mu_(2)-mu_(1))/(R)=(mu_(2))/(v)-(mu_(1))/(u).(mu_(2))/(v)-(mu_(1))/(u)=(mu_(2)-mu_(1))/(R)`