`int_(1)^(2) (x^([x^(2)])+[x^(2)]^(x))dx` का मान होगा (जहाँ `[*]` महत्तम पूर्णांक फलन को प्रदर्शित करता है )

Options

A. `(5)/(4) + sqrt(3) + ( 2^(sqrt(3) )- 2 ^(sqrt(2))) + (1)/( log 3 ) (9 - 3 ^(sqrt(3))) `
B. `(5)/( 4) + sqrt(3) + ( sqrt(2))/( 3) = (1)/( log 2) (2^(sqrt(3)) - 2 ^(sqrt(2)) ) + (1)/( log 3 ) ( 9 - 3 ^(sqrt(3)))`
C. `(5)/( 4) + (sqrt(2))/( 3) + (1)/( log 2) ( 2 ^(sqrt(3)) - 2 ^(sqrt(2))) + (1)/( log 3 ) ( 9 - 3 ^(sqrt(3)))`
D. इनमे से कोई नहीं

Answer

B

Explanation

`[x]^2` के लिए जहाँ `[.]` महत्तम पूर्णांक फलन है।

जब `1 le x lt sqrt2` तब `[x]^2=1`

जब `sqrt2 le x lt sqrt3` तब `[x]^2=2`

जब `sqrt3 le x lt 2` तब `[x]^2=3`

`I=int_(1)^(2) (x^([x^(2)])+[x^(2)]^(x))dx`

`=int_1^(sqrt2)(x^1+1)dx``+int_(sqrt2)^(sqrt3)(x^2+2^x)dx``+int_(sqrt3)^(2)(x^3+3^x)dx`

`=(x^2/2+x)_1^(sqrt2)``+(x^3/3+(2^x)/log2)_(sqrt2)^(sqrt3)``+(x^4/4+(3^x)/log3)_(sqrt3)^(2)`

`=5/4+ sqrt3``+ (sqrt2)/3``+1/(log2)(2^(sqrt3)-2^(sqrt2))``+1/(log3)(3^(2)-3^(sqrt3))`