यदि z अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है तब `(Imz^(5))/((Imz)^(5))` का न्यूनतम मान है : ( `Im=z=z` का काल्पनिक भाग )

Options

A. `-2`
B. `-4`
C. `-5`
D. `-1`

Answer

B

Explanation

माना, `z=r(costheta+isintheta)`
`z^(5)=r^(5)(cos5theta+isin5theta)`
`Im(z^(5))=r^(5)sin5theta`
तथा `(Imz)^(5)=r^(5)sin^(5)theta`
`(Im(z^(5)))/((Imz)^(5))=(sin5theta)/(sin^(5)theta)=A` (माना)
`implies(dA)/(d theta)=(5sin^(5)thetacos5theta-5sin5thetasin^(4)thetacostheta)/((sin^(5)theta)^(2))`
`implies(dA)/(d theta)=(5sin^(4)theta(sinthetacos5theta-sin5thetacostheta))/(sin^(10)theta)`
`implies(dA)/(d theta)=(5)/(sin^(6)theta)[sin(-4theta)]=0`
A का न्यूनतम मान `theta=(pi)/(4)` पर होगा।
`implies(sin5(pi)/(4))/((sin""(pi)/(4))^(5))`
`=((-1)/(sqrt2))/(((1)/(sqrt2))^(5))`
`=-(sqrt2)^(4)=-4`