समान पदार्थ तथा समान कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले एक गोले तथा एक घन को एक ही खाली स्थान पर बारी-बारी से समान ताप तक गर्म करने के बाद रखा जाता है। आवरण में शीतलन की इनकी प्रारंभिक दरों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

Options

A. `sqrt((pi)/6):1`
B. `sqrt((pi)/3):1`
C. `(pi)/(sqrt(6)):1`
D. `(pi)/(sqrt(3)):1`

Answer

A

Explanation

ऊर्जा के उत्सर्जन की दर `=sigmaT^(4)S`
मान लीजिए कि, गोले का द्रव्यमान `m_(1)` है, C विशिष्ट ऊष्मा है और `(d theta//dt)`, शीतलन की दर ।
गोले के लिए,
`sigma T^(4)S=m_(1)C((d theta)/(dt))_(S) " "...(i)`
मान लीजिए कि, घन का द्रव्यमान `m_(2)` है, C इसकी विशिष्ट ऊष्मा और `(d theta//dt)` शीतलन की दर है।
घन के लिए,
`sigma T^(4)S=m_(2)C((d theta)/(dt))_(C )" "...(ii)`
समी. (i) और (ii) से
`((d theta//dt)_(s ))/((d theta// dt)_(c ))=(m_(2))/(m_(1))`
`=(a^(3)rho)/((4//3) pi r^(3)rho)`
जहां a घन की भुजा है, r गोले की त्रिज्या है, `rho` घनत्व है।
`:.` अभीष्ट अनुपात `(R_(s))/(R_(c ))=(3a^(3))/(4pi r^(3))`
लेकिन, चूंकि S (पृष्ठीय क्षेत्रफल ) समान है,
`6a^(2)=4pi r^(2)`
या `a^(2)=(2//3) pi r^(2)`
`:. (R_(s))/(R_(c )) = (3(2pi r^(2)//3)^(3//2))/(4pi r^(3)) =(2pi sqrt(2pi))/(sqrt(3)(4pi))`
`= sqrt((2pi)/(12)) = sqrt((pi)/(6))`