Show that `sin^(-1)(2xsqrt(1-x^2))=2sin^(-1)x`

Explanation

L.H.S. `=sin^(-1)(2xsqrt(1-x^2))`
Let `x=sintheta`
Let x `=sintheta`
`:.L.H.S.=sin^(-1)…(2sinthetacostheta)`
`=sin^(-1)(sin2theta)`
when `1/sqrt2 le x le 1`
`rArr 1/sqrt2 le sintheta le1`
`rArr pi/4 le theta le pi/2`
`pi/2 le 2theta le pi`
`rArr -pi+pi le pi-2theta le-pi/2+pi`
`rArr 0 le pi-2theta lepi/2`
`:. sin^(-1)(sin2theta)=sin^(-1)sin(pi-2theta)`
`p[i-2theta]`
`=pi-2sin^(-1)x`
`=2(pi/2-sin^(-1)x)`
`2cos^(-1)x`
OR
Let `x=costheta`
`sin^(-1)92xsqrt(1-x^2)=sin^(-1)(2costhetasintheta)`
`=sin^(-1)(sin2theta)`
`:' 1/sqrt2 le x le 1 rArr 1/sqrt2 le costheta le 1`
`rArr 0 le theta le pi/4`
`rArr 0 le 2theta le pi/2`
`:. sin^(-1) (sin2theta)=2theta`
`:. sin^(-1)(2xsqrt(1x^2))=2theta, 0le theta le pi/4`
`rArr sin^(-1)(2xsqrt(1-x^2))=2cos^(-1)x,1/sqrt2 le x le 1`