if `alpha, beta , ne 0 " and " f(n) =alpha^(n)+beta^(n)`
`" and " |{:(3,,1+f(1),,1+f(2)),(1+f(1),,1+f(2),,1+f(3)),(1+f(2),,1+f(3),,1+f(4)):}|`
`=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)` then k is equal to

Options

A. 1
B. -1
C. `alpha beta`
D. `(1)/(alpha beta)`

Answer

A

Explanation

We have, `|{:(3,1+f(1),1+f(2)),(1+f(1),1+f(2),1+f(3)),(1+f(2),1+f(3),1+f(4)):}|=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr |{:(1+1+1,1+alpha+beta,1+alpha^(2)+beta^(2)),(1+alpha+beta,1+alpha^(2)+beta^(2),1+alpha^(3)+beta^(3)),(1+alpha^(2)+beta^(2),1+alpha^(2)+beta^(3),1+alpha^(2)+beta^(4)):}|=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr |{:(1,1,1),(1,alpha,beta),(1,alpha^(2),beta^(2)):}||{:(1,1,1),(1,alpha,beta),(1,alpha^(2),beta^(2)):}|=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr |{:(1,1,1),(1,alpha,beta),(1,alpha^(2),beta^(2)):}|^(2)=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr |{:(1,1,1),(1,alpha-1,beta-1),(1,alpha^(2)-1,beta^(2)-1):}|^(2)=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
[Applying `C_(2) rarr C_(2) - C_(1), C_(3) rarr C_(3) - C_(1)` on LHS]
`rArr" "[(alpha-1)(beta^(2)-1)-(beta-1)(alpha^(2)-1)]^(2)=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr" "[(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(1+beta)-(1+alpha)]^(2)=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr" "[(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)=k(1-alpha)^(2)(1-beta)^(2)(alpha-beta)^(2)`
`rArr" "k = 1`