Slove `lim_(xto0)((1+x)^(1//x)-e)/x`

Options

A. 1
B. `(e)/(2)`
C. `-(e)/(2)`
D. `(2)/(e)`

Answer

C

Explanation

We have ,
`(1+x)^(1//x)=e(log(1+x))/(x)=e(1)/(x)(x-(x^2)/(2)+(x^3)/(3)-...)`
`rArr (1+x)^(1//x)=e^(1-(x)/(2)+(x^3)/(3) -..)= e.e (-x)/(2)+(x^2)/(3).....`
`lim_(xto0)((1+x)^(1//x)-e)/(x)lim_(xto0)(e.e^(-(x)/2)+(x^2)/(3)....._(-e))/(x)`
`e lim_(xto0) ({e^(-x//2+x^2//3+....)-1})/((-(x)/(2)+(x^2)/(3)+....))xx((-(x)/(2)+(x^2)/(x)+....))/(x)=-(1)/(2)e`