Evaluate `underset(xto0)lim((1+x)^(1//x)-e+(1)/(2)es)/(x^(2))`.

Options

A. `(11e)/(24)`
B. `(-11e)/(24)`
C. `(e)/(24)`
D. none of these

Answer

A

Explanation

We have,
`lim_(xto0) ((1+x)^(1//x)-e+(ex)/(2))/(x^2)`
`lim_(xto0) ((1)/(e^x)log(1+x)_(-e+(ex)/2))/(x)`
`lim_(xto0) (e^(1-(x)/(2)+(x^2)/(3)-(x^3)/(4)+.....)-e+(ex)/(2))/(x)`
`=elim_(xto0) (e^(-(x)/(2)+(x^2)/(3)-(x^3)/(4)+.....)-1+(x)/(2))/(x^2)`
`=elim_(xto0)(1+((x)/(2)+(x^2)/(3)-(x^3)/(4)+....)+(1)/(2ᴉ)(-(x)/(2)+(x^2)/(3)-(x^3)/(4)+...)^2 +....-1+(x)/(2))/(x^2)`
`=lim_(xto0) (x^2((1)/(2)+(1)/(2!)xx(1)/(4))+x^3(...)+.....)/x^2=e((1)/(3)+(1)/(8))=(11e)/(24)`