`" if a,b, and c are real number and "`
`|{:(b+c,,c+a,,a+b),(c+a,,a+b,,b+c),(a+b,,b+c,,c+a):}|`
`a+b+c =0 " or " a=b=c`

Explanation

`Delta=|{:(b+C,c+A,a+b),(c+a,a+b,b+c),(a+b,b+c,c+a):}|=0`
`rArr" "|{:(2a+ab+ac,c+a,a+b),(2a+ab+ac,a+b,b+c),(2a+ab+ac,b+c,c+a):}|=0`
`(C_(1)toC_(1)+C_(2)+C_(3))`
`rArr(2a+ab+ac)|{:(1,c+a,a+b),(1,a+b,b+c),(1,b+c,c+a):}|=0`
`rArr2(a+b+c)|{:(1,c+a,a+b),(0,a+b,b+c),(1,b+c,c+a):}|=0`
`(R_(1)toR_(1)-R_(1),R_(2)toR_(2)-R_(3))`
`rArr2(a+b+c).1|{:(c-b,a-c),(a-c,b-a):}|=0`
(Expanding along `C_(1)`)
`rArr" "2(a+b+c)[(c-b)(b-a)-(a-c)^(2)]=0`
`rArr" "(a+b+c)(bc-b^(2)-ac+ab-a^(2)-c^(2)+2ab)=0`
`rArr" "2(a+b+c)(-a^(2)-b^(2)-c^(2)+ab+bc+ca)=0`
`rArr" "-(a+b+c)(2-a^(2)+2b^(2)+2c^(2)2ab-2bc-2ca)=0`
`rArr" "(a+b+c)[(a-b)^(2)+(b-c)^(2)+(c-a)^(2)=0`
`rArr" "a+b+c=0 or a-b=0, b-c=0, c-a=0`
`rArr" "a+b+c=0 or a=b=c`