Evaluate: `int_0^pi(xsin2xsin(pi/2cosx))/(2x-pi)dx`

Explanation

Let `I=int_(0)^(pi) (x sin 2x "sin"((pi)/2cos x))/(2x-pi) dx`…………..1
Then `I=int_(0)^(pi)((pi-x)sin(2pi-2x)sin((pi))/2cos(pi-x))/(2(pi-x)-pi)dx`
`=int_(0)^(pi)((pi-x)(-sin2x)"sin"(-(pi)/2 cosx))/(pi-2x)dx`,
or `I=int_(0)^(pi)((x-pi)sin2x"sin"((pi)/2cosx))/(2x-pi) dx`................2
Adding 1 and 2 we get
`2I=int_(0)^(pi)((2x-pi)sinxsin((pi)/2cosx)/(2x-pi)dx`
`=int_(0)^(pi)sin 2x"sin"(pi)/2 cosx)dx`
`=int_(0)^(pi) 2 sinx cos x sin ((pi)/2 cosx)dx`
or `I=int_(0)^(pi) sin x cos x "sin"((pi)/2cosx)dx`
PUt `z=(pi)/2 cosx`. Then `dz=-(pi)/2 sin x dx`.
When `x=0, z=(pi)/2` and when `x=pi,z=-(pi)/2`
`:. I=-2/(pi) int_(pi//2)^(-pi//2) (2z)/(pi) sin z dz =4/(pi^(2)) int_(-pi//2)^(pi//2) z sin z dz =8/(pi^(2))`