If ` u = sqrt( a^2cos^2 theta +b^2 sin ^2 theta ) + sqrt( a^2 sin^2 theta +b^2 cos^2 theta )`
then the difference between the maximum and manimum values of ` u^2 is given by

Options

A. `2(a^(2)+b^(2))`
B. `2sqrt(a^(2)+b^(2))`
C. `(a+b)^(2)`
D. `(a-b)^(2)`

Answer

D

Explanation

`u^(2)=a^(2)+b^(2)+2sqrt(a^(2)cos^(2)theta+b^(2)sin theta)xxsqrt(a^(2)sin^(2)theta+b^(2)cos^(2)theta)`
`=a^(2)+b^(2)+2sqrt(sin^(2)thetacos^(2)theta(a^(4)+b^(4))+a^(2)b^(2)(sin^(4)theta+cos^(4)theta))`
`=a^(2)+b^(2)+2sqrt(a^(2)b^(2)(1-2sin^(2)thetacos^(2)theta)+(a^(4)+b^(4))sin^(2)thetacos^(2)theta)`
`=(a^(2)+b^(2))+2sqrt(a^(2)b^(2)+(a^(2)-b^(2))^(2)sin^(2)thetacos^(2)theta)`
`=(a^(2)+b^(2))+2sqrt(a^(2)b^(2)+((a^(2)-b^(2))^(2))/(4))`
Min. `u^(2)=(a^(2)+b^(2))+2ab`.
`rArr` difference `=2sqrt(a^(2)b^(2)+((a^(2)-b^(2))^(2))/(4))-2ab`
`=sqrt(4a^(2)b^(2)+a^(4)+b^(4)-2a^(2)b^(2))-2ab`
`=sqrt((a^(2)+b^(2))^(2))-2ab`.
`=a^(2)+b^(2)-2ab`
`=(a-b)^(2)`.