Let `P(k)=(1+cos(pi/(4k)))` `(1+cos(((2k-1)pi)/(4k)))` `(1+cos(((2k+1)pi)/(4k)))(1+cos(((4k-1)pi)/(4k)))dot` Then (a)`P(3)=1/(16)` (b) `P(4)=(2-sqrt(2))/(16)` (c) `P(5)=(3-sqrt(5))/(32)` (d) `P(6)(2-sqrt(3))/(16)`

Options

A. `P(3)=(1)/(16)`
B. `P(4)=(2-sqrt(2))/(16)`
C. `P(5)=(3-sqrt(5))/(32)`
D. `P(6)=(2-sqrt(3))/(16)`

Answer

A, B, C, D

Explanation

`P(k) = (1+cos""(pi)/(4k)) ( 1+ cos((pi)/(2) - (pi)/(4k))) ( 1+cos((pi)/(2) + (pi)/(4k))) ( 1 + cos(pi- (pi)/(4k)))`
`" " = (1+ cos""(pi)/(4k))(1 + sin""(pi)/(4k))(1-sin""(pi)/(4k)) (1 -cos""(pi)/(4k))`
`" " = (1-cos^(2)""(pi)/(4k)) ( 1-sin^(2)""(pi)/(4k))`
`= ( 4 sin ^(2)""(pi)/(4k)*cos ^(2)""(pi)/(4k))/(4)`
`" " P(k) = (1)/(4)sin^(2)((pi)/(2k))`
`rArr P(3) = (1)/(4) * (1)/(4) = (1)/(16)`
`rArr P(4) = (1)/(4) sin ^(2) ""(pi) /(2k) =(1)/(4) sin ^(2)""(pi)/(8) = (1)/(8) (1-cos""(pi)/(4)) = (2- sqrt2)/(16)`
`rArr P(5) = (1)/(4) sin ^(2)""(pi)/(10) = (1)/(8)( 2sin^(2)""(pi)/(10)) = (1)/(8)( 1- cos36^(@))`
`" " = (1)/(8) ( 1- (sqrt5 +1)/(4)) = (3- sqrt5)/( 32)`
`rArr P(6) = (1)/(4) sin ^(2)""(pi)/(12) = (1)/(8) ( 2sin^(2) ""(pi)/(12)) = (1)/(8)( 1- cos""(pi)/(6))`
`" " = (1)/(8)(1- (sqrt3)/(2)) = (2- sqrt3)/(16)`