If `cos x + sec x=−2` for a positive odd integer `n` then `cos^n x+sec^n x` is

Answer

`a to s; b to r; c to p; d to q`

Explanation

a.`cos 20^(@) + cos 80^(@) - sqrt3 cos50^(@)`
`" " = 2cos 30^(@) cos 50^(@) - sqrt3 cos 50^(@)`
`" " = sqrt3 cos 50^(@) - sqrt3 cos 50^(@) =0`
b. `cos0^(@) + cos""(pi)/(7) + cos""(2pi)/(7) + cos""(3pi)/(7) +cos""(4pi)/(7)+ cos""(5pi)/(7) + cos""(6pi)/(7)`
`= 1+ (cos""(pi)/(7) + cos ""(6pi)/(7)) + (cos""(2pi)/(7) + cos""(5pi)/(7)) + (cos""(3pi)/(7) + cos""(4pi)/(7))`
`= 1+ (cos ""(pi)/(7) + cos (pi-(pi)/(7)))+ (cos ""(2pi)/(7) + cos (pi-(2pi)/(7)))+ ( cos""(3pi)/(7) +cos (pi - (3pi)/(7)))`
` = 1+0 +0 +0 =1`
c. `cos 20^(@) + cos 40^(@) + cos 60^(@) - 4 cos 10^(@) cos 20^(@) cos 30^(@)`
`= cos 30^(@) cos 10^(@) + 2cos ^(2) 30^(@) -1 - 4 cos 10^(@) cos 20^(@) cos 30^(@)`
`= 2cos 30^(@) (cos 10^(@) +cos 30^(@))-1 - 4 cos 10^(@) cos 20^(@) cos 30^(@) `
`= 2cos 30^(@) ( 2cos 10^(@) cos 20^(@)) -1 - 4 cos 10^(@) cos 20^(@) cos 30^(@) =-1`
d. `cos 20^(@) cos 100^(@) + cos 100^(@) cos 140^(@) - cos 140^(@) cos 200^(@)`
`= (1)/(2) ( cos 120^(@) + cos 80^(@) + cos 240^(@) + cos 40^(@) - cos 340^(@)- cos 60^(@))`
`= (1)/(2)(-(1)/(2) + cos 80^(@) - (1)/(2) + cos 40^(@) - cos 340^(@) - (1)/(2))`
` = (1)/(2) (-(3)/(2) + cos 80^(@) + cos 40^(@) - cos 20^(@))`
`= (1)/(2) (-(3)/(2) + 2cos 60^(@) cos 20^(@) - cos 20^(@))`
`= (1)/(2) (-(3)/(2)) = -(3)/(4)`