If |`|a| lt 1 "and " |b| lt 1` then the sum of the series `1+(1+a)b+(1+a+a^2)b^2+(1+a+a^2+a^3)b^3+…..is `

Options

A. `(1)/((1-a)(1-b))`
B. `(1)/((1-a)(1-ab))`
C. `(1)/((1-b)(1-ab))`
D. `(1)/((1-a)(1-b)(1-ab))`

Answer

C

Explanation

We have
`1+(1+a)b+(1+a+a^(2))b^(2)+(1+a+a^(2)+a^(3))b^(3)+…oo`
`=sum_(n=1)^(oo)(1+a+a^(2)+…+a^(n-1))b^(n-1)`
`=sum_(n=1)^(oo)((1-a^(n))/(1-a))b^(n-1)`
`=sum_(n=1)^(oo)(b^(n-1))-a/(1-a)sum_(n=1)^(oo)(ab)^(n-1)`
`=1/(1-a)[1+b+b^(2)+..oo]-a/(1-a)[1+ab+(ab)^(2)+...oo]`
`=1/(1-a)xx1/(1-b)-a/((1-a)(1-ab))`
`=1/((1-ab)(1-b))`