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Class 12
MATHS
Let two non-collinear unit vector ha...

Let two non-collinear unit vector ` hat aa n d hat b` form an acute angle. A point `P` moves so that at any tgiem `t ,` the position vector `O P(w h e r eO` is the origin`)` is given by ` hat acott+ hat bsintdotW h e nP` is farthest from origin `O ,` let `M` be the length of `O Pa n d hat u` be the unit vector along `O Pdot` Then ` hat u=( hat a+ hat b)/(| hat a+ hat b|)a n dM=(1+ hat adot hat b)^(1//2)` ` hat u=( hat a- hat b)/(| hat a- hat b|)a n dM=(1+ hat adot hat b)^(1//2)` ` hat u=( hat a+ hat b)/(| hat a+ hat b|)a n dM=(1+2 hat adot hat b)^(1//2)` ` hat u=( hat a- hat b)/(| hat a- hat b|)a n dM=(1+2 hat adot hat b)^(1//2)`

A

`hat(u)=.(hat(a)+hat(b))/(|hat(a)+hat(b)|)" and " M-(1+hat(n),hat(b))^(1//2)`

B

`hat(u)=.(hat(a)-hat(b))/(|hat(a)-hat(b)|)" and " M-(1+hat(a),hat(b))^(1//2)`

C

`hat(u)=.(hat(a)+hat(b))/(|hat(a)+hat(b)|)" and " M-(1+2hat(a),hat(b))^(1//2)`

D

`hat(u)=.(hat(a)-hat(b))/(|hat(a)-hat(b)|)" and " M-(1+2hat(a).hat(b))^(1//2)`

Text Solution

Verified by Experts

The correct Answer is:
A
Given `vec(OP) = hat(i) cos t + hat(b)` sin t
`rArr |vec(OP)| = sqrt((hat(a)"."hat(a)) cos^(2) t + (hat(b) "."hat(b)) sin^(2) t+ 2hat(a) "." hat(b) sin t cos t)`
`rArr |vec(OP)| = sqrt(1+hat(a)"."hat(b) sin 2t)`
`rArr |vec(OP)|_(max) = M = sqrt(1+hat(a)"."hat(b) ) at sin 2t =1 rArr t = (pi)/(4)`
At `t= (pi)/(4) , vec(OP) = (1)/(sqrt(2)) (hat(a) +hat(b))`
Unit vector along `vec(OP) " at " (t=(pi)/(4)) = (hat(a) + hat(b))/(|hat(a) + hat(b)|)`
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