ऊर्जा-संरक्षण का सिद्धांत लिखें और इसे गणितीय रूप से सत्यापित करें।

Explanation

ऊर्जा न तो उत्पन्न होती है और न नाश होता है, केवल उसका रूपान्तरण होता है। इसे ऊर्जा-संरक्षण का सिद्धांत कहते हैं। माना कि .m. द्रव्यमान का पिंड पृथ्वी पृष्ठ संख्या h ऊँचाई पर स्थित है।
A पर स्थितिज ऊर्जा = mgh
A पर गतिज ऊर्जा `=1/2mnu^2 = 0 C( :. nu=0)`
अतः A पर कुल ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा
`=mgh+0=mgh`
A से पिण्ड विराम अवस्था से नीचे गिरता है तथा .x. दूरी तय करने के बाद B पर पहुँचता है,B पर
`u=0,nu=? " दूरी " = x`
हम जानते हैं- + `nu^2 =u^2+2gh`
`0^2+2gx`
`nu 2gx`
B पर गतिज ऊर्जा `=1/2mnu^2`
`=1/2 xx mxx 2gx = mgx`
B पर स्थितिज ऊर्जा `= mg (h-x) =mgh`
`=mgx -mgx`
B पर कुल ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा
`=mgh-mgx + mgx=mgh` ...(ii),
जब वस्तु पृथ्वी पृष्ठ पर रहता है, तो C पर ऊँचाई `h=0, u=0,nu=?`, दूरी =h
`:. nu=u+2gh=0^2 +2gh`
अत: `nu=2gh`
C पर स्थितिज ऊर्जा `= mgh = 0( :. h=0)`
C पर गतिज ऊर्जा `=1/2mnu^2`
`=1/2=mxx2gh =mgh`
C पर कुल ऊर्जा = स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा
`= 0 + mgh = mgh` ...(iii)
समीकरण (i), (ii) और (ii) से पिण्ड का कुल ऊर्जा अचर रहता है, इससे ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का सत्यापन होता है।