उत्तल दर्पण में प्रमाणित करें कि
`1/u+1/v=1/f` जहाँ u, v, f का सामान्य अर्थ हैI

Explanation

चित्र में `MM_(1)` एक उत्तल दर्पण दिखा या गया हैI
दर्पण का ध्रुव P, फोकस F और वक्रता केन्द्र हैI OQ वस्तु (बिम्ब) को दर्पण के प्रधान अक्ष पर उदग्र रखा गया हैI O से चलनेवाली प्रकाश किरण प्रधान अक्ष के समानांतर हैI परावर्तन के बाद फोकस से आभासतः मिलती हुई प्रतीत होती हैI दूसरी किरण OC है जो दर्पण की सतह पर अभिलम्ब हैI यह परावर्तित होकर पुनः उसी पथ पर लौट जाती हैI A से AN `_|_` प्रधान अक्ष पर खींचा गया हैI
PQ = बिंब की दूरी = u
`PQ_(1)` = प्रतिबिंब की दूरी = v
PF = फोकसान्तर = f
OQ बिंब का आभासी प्रतिबिंब `O_(1)Q_(1)` बनता है जो सीधा और छोटा हैI
`DeltaOQC" और " DeltaO_(1)Q_(1)C` में,
`angleOQC=angleO_(1)Q_(1)C=90^(@)`
`angleC=angleC`
`DeltaOQC~DeltaO_(1)Q_(1)C`
`therefore(OQ)/(O_(1)Q_(1))=(QC)/(Q_(1)C)" "...(i)`
`DeltaANF" और "DeltaO_(1)Q_(1)F` में,
`angleANF=angleO_(1)Q_(1)F=90^(@)`
`angleF=angleF`
`thereforeDeltaANF~DeltaO_(1)Q_(1)F`
`therefore(AN)/(O_(1)Q_(1))=(NF)/(Q_(1)F)`
`becauseAN=OQ`
`therefore(OQ)/(O_(1)Q_(1))=(NF)/(Q_(1)F)`
दर्पण का अभिमुख छोटा हैI अतः, NF = PF
`therefore(OQ)/(O_(1)Q_(1))=(PF)/(Q_(1)F)" "...(ii)`
(i) और (ii) से,
`(QC)/(Q_(1)C)=(PF)/(Q_(1)F)" ""या",(PQ+PC)/(PC-PQ_(1))=(PF)/(PF-PQ_(1))`
u, v, f का उपयोग कर चिह्नों की नई प्रणाली के अनुसार,
`(-u+2f)/(2f-v)=f/(f-v)`
`2f-vf=-uf+uv+2f-2vf`
या, `-vf=-uf+uv-2vf`
या, `-vf+2vf+uf=uv`
या, vf + uf = uv
दोनों तरफ uvf से भाग देने पर,
`(vf)/(uvf)+(uf)/(uvf)=(uv)/(uvf)`
या, `1/u+1/v=1/f" ""या",1/v+1/u=1/f`
प्रतिबिंब का आवर्धन = m = `v/u`