किसी समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का परिमाप 2012 है तब इसका क्षेत्रफल होगा -

Options

A. `2012(3-sqrt(3))`
B. `(2012)^(2)`
C. `(1006)^(2)(3-sqrt(2))`
D. `(1006)^(2)`

Answer

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का परिमाप 2012 है। हमें इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

1. **समद्विबाहु समकोण त्रिभुज की विशेषताएँ**:
- मान लीजिए कि त्रिभुज के दोनों समान भुजाएँ \( a \) हैं और कर्ण \( c \) है।
- चूंकि यह समकोण त्रिभुज है, हम जानते हैं कि \( a^2 + a^2 = c^2 \) या \( 2a^2 = c^2 \)।

2. **परिमाप का सूत्र**:
- त्रिभुज का परिमाप \( P = a + a + c = 2a + c \) है।
- हमें दिया गया है कि \( P = 2012 \)।
- इसलिए, \( 2a + c = 2012 \)।

3. **कर्ण \( c \) को \( a \) के रूप में व्यक्त करना**:
- \( c = \sqrt{2}a \) (क्योंकि \( c^2 = 2a^2 \) से \( c = \sqrt{2}a \))।
- अब हम \( c \) को \( a \) के रूप में व्यक्त करते हैं:
\[ 2a + \sqrt{2}a = 2012 \]
- इसे सरल बनाते हैं:
\[ a(2 + \sqrt{2}) = 2012 \]
- अब \( a \) के लिए हल करते हैं:
\[ a = \frac{2012}{2 + \sqrt{2}} \]

4. **क्षेत्रफल का सूत्र**:
- समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \( A \) होता है:
\[ A = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{1}{2} a^2 \]

5. **\( a^2 \) की गणना**:
- पहले \( a \) की गणना करते हैं:
\[ a = \frac{2012}{2 + \sqrt{2}} \]
- \( a^2 \) की गणना:
\[ a^2 = \left(\frac{2012}{2 + \sqrt{2}}\right)^2 \]

6. **क्षेत्रफल की गणना**:
- क्षेत्रफल \( A \) की गणना:
\[ A = \frac{1}{2} \times \left(\frac{2012}{2 + \sqrt{2}}\right)^2 \]

7. **अंतिम उत्तर**:
- अब इस गणना को पूरा करके क्षेत्रफल का मान ज्ञात करें।