r त्रिज्या की एक स्टील की गेंद श्यानता द्रव के श्यानता गुणांक `eta` के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण के अधीन नीचे गिरने के लिए स्वतन्त्र है। कुछ समय बाद गेंद नियत वेग `v_(r)` प्राप्त करती है, तब अन्तिम वेग निर्भर करता है (i) गेंद के द्रव्यमान (mg) पर, (ii) श्यानता के गुणांक `(eta)` पर (iii) गेंद की त्रिज्या (r) पर विमीय विधि के द्वारा अन्तिम वेग के सम्बन्ध को प्रदर्शित कीजिए।

Options

A. `(kmg)/(etar^(2))`
B. `(kmg^(2))/(etar^(2))`
C. `(kmg^(1//2))/(etar^(2))`
D. `(kmg)/(etar)`

Answer

D

Explanation

गेंद का सीमान्त टर्मिनल वेग `v_(r)`, गेंद के भार (mg), श्यानता गुणांक `(eta)` और गेंद की त्रिज्या (r) पर निर्भर करता है, अत:
`v_(T)=k(mg)^(a)(eta)^(b),(r)^(c)`
जहाँ, k एक विमाहीन नियतांक है।
इस सम्बन्ध में विभिन्न पदों में विमा लिखने पर,
`[M^(0)LT^(-1)]=[MLT^(-2)]^(a)[ML^(-1)T^(-1)]^(b)[L]^(c)`
`=[M^(a+b)L^(a+b+c)T^(-2a-b)]`
M, L और T की घात की तुलना करने पर,
`a+b=0" "....(i)`
`a-b+c=1" "....(ii)`
और `-2a-b=-1" "....(iii)`
हल करने पर हम प्राप्त करते हैं,
`a=1, b=-1,c=-1`
अत: निम्न सम्बन्ध
`v_(t)=k(mg)^(1)(eta)^(-1)(r)^(-1)=(kmg)/(etar)`