एक वलय (R), एक ठोस बेलन (C) तथा एक ठोस गोला (S) सभी समान द्रव्यमान वाले तथा समान त्रिज्या वाले एक ही नत तल पर लुढ़कने के लिए रखे गए हैं। ये बारी-बारी से समान ऊँचाई से लुढ़कते हैं।

कोई फिसलन नहीं मानते हुए, इन प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
सबसे पहले तल तक कौन पहुँचता है?

Options

A. R
B. C
C. S
D. सभी साथ-साथ

Answer

C

Explanation

माना ऊर्जा के संरक्षण द्वारा तथा लोटनी वस्तु के घर्षण के कारण ऊर्जा का ह्रास नहीं होता है। नत तल पर लुढ़कने से पिण्ड की विभव ऊर्जा का ह्रास होता है (= mgh),
इसलिए यह प्राप्त की गई गतिज ऊर्जा के तुल्य होनी चाहिए।
चूँकि पिण्ड विरामावस्था से प्रारम्भ होता है। तथा इसके द्वारा प्राप्त की गई गतिज ऊर्जा, पिण्ड की अन्तिम गतिज ऊर्जा के तुल्य होती है।
`K=(1)/(2)mv^(2)(1+(K^(2))/(R^(2))` जहाँ, v वस्तु का अन्तिम वेग है (द्रव्यमान केन्द्र का)। K तथा mgh को बराबर मानने पर,

`mgh=(1)/(2) mv^(2)(1+(K^(2))/(R^(2)))` या
`v^(2)=((2gh)/(1+K^(2)//R^(2)))`
नोट यह लुढकते हुए पिण्ड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
वलय के लिए
`v_("वलय")= sqrt((2hg)/(1+1))= sqrt(gh)`
ठोस बेलन के लिए `K^(2)=(R^(2))/(2)`
`v_("चकती") = sqrt((2gh)/(1+(1)/(2)))= sqrt((4gh)/(3))`
ठोस गोले के लिए `K^(2)=(2R^(2))/(6)`
`v_("गोला") = sqrt((2gh)/(1+(2)/(5)))= sqrt((10gh)/(7))`
उपरोक्त प्राप्त परिणामों से यह स्पष्ट है कि तीनों वस्तुओं में नत समतल के तल पर गोले के द्रव्यमान केन्द्र का वेम सर्वाधिक होगा, जबकि वलय के द्रव्यमानं केन्द्र का वेग सबसे न्यूनतम होगा