m द्रव्यमान, L लम्बाई, A अनुप्रस्थ-काट के क्षेत्रफल की एकसमान छड़ को इसके किसी एक सिरे से गुजरने वाले अक्ष के परितः एवं इसकी लंबाई के लंबवत् क्षैतिज तल में नियत कोणीय वेग `omega` घुमाया जाता है। यदि Y छड़ के पदार्थ का यंग गुणांक है, तो छड़ के घुमाने के कारण इसकी लंबाई में वृद्धि होगी-

Options

A. `(momega^(2)L^(2))/(AY)`
B. `(momega^(2)L^(2))/(2AY)`
C. `(momega^(2)L^(2))/(2AY)`
D. `(2momega^(2)L^(2))/(AY)`

Answer

C

Explanation

एक लम्बाई के एक छोटे पदार्थ को घूर्णन के अक्ष के सापेक्ष दूरी x पर मानते है

अवयव का द्रव्यमान
`dm = m/L dx = mu dx`
जहाँ `mu =m/L `
पदार्थ पर कार्यरत अपकेंद्रीय बल
`dT = dmomega^(2) x = muomega^(2) xdx `
चूँकि यह बल छड़ में तनाव द्वारा प्राप्त होता है (प्रत्यास्थता के कारण ) से x=x से x= L
के मध्य समस्त अवयवों के अभिकेंद्र बल के कारण , घूर्णन अक्ष से दूरी पर छड़ में तनाव
` :. T = int _(x)^(L) mu omega^(2) "xdx" = (muomega^(2))/2 [L^(2)-x^(2)] " "...(i)`
माना dl पदार्थ की लम्बाई में परिवर्तन है , तब
`Y =(T//A)/(dl//dx)`
`dl = (Tdx)/(YA) = (muomega^(2))/(2YA) [L^(2)-x^(2)] dx `
[समी (i) का प्रयोग करने पर]
इसलिए पूर्ण छड़ की लम्बाई में कुल वृद्धि
`l = int_(0)^(L) (muomega^(2))/(2YA) [L^(2)-x^(2)]dx `
`=(muomega^(2))/(2YA) [L^(2)x-(x^(3))/3]_(0)^(L)`
`=1/3 (muomega^(2)L^(3))/(YA) =1/3 (momega^(2)L^(2))/(YA)`