प्रमेय 6.2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)

Explanation

जैसा कि दिया गया है, मान लिया कि ABC त्रिभुज है। और, E और F क्रमश: भुजाओं AB और AC के मध्य बिंदु हैं।

अत: सिद्ध करना है कि EF||BC



एक रेखा CF भुजा AB के समांतर खींची गयी। और, रेखा DE को बढ़ाया गया जो रेखा CF को बिंदु G पर काटती है।

त्रिभुज ADE और त्रिभुज ECG में,

बिंदु E भुजा AC का मध्य बिंदु है। [ दिया गया है]

अत:, AE` = `EC

AB||CF [बनाबट के अनुसार]

AC एक तिर्यक रेखा है जो दो समांतर रेखाओं AB और CF को काटती है। अत: एकांतर अंत: कोण बराबर होंगे।

अर्थात `angleDAE = angleECG`

अब चूँकि `angleDEA `और `angleGEC` उर्ध्वाधर सम्मुख कोण (वर्टिकली अपोजिट एंगल्स) हैं अत: आपस में बराबर हैं।

अर्थात `angleDEA = angleGEC`

अत: ASA (कोण भुजा कोण) सर्वांगसमता नियम से

`triangleADE cong triangleECG`

अब CPCT नियम से हम जानते हैं कि सर्वांगसम त्रिभुजों मे संगत भाग बराबर होते हैं।

अत:, DE` =` EG - - - - (i)

और, AD `= `CG

`implies` AD `=` CG `=` DB

[चूँकि बिंदु D भुजा AB का मध्य बिंदु है अत: AD = DB]

अब चूँकि `DB = CG` और DB||CG

चूँकि एक चतुर्भुज में यदि सम्मुख भुजाएँ बराबर और समांतर हों, तो वैसा चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

अत: DBCG एक समांतर चतुर्भुज है।

अत: DG||BC

DE||BC - - - - (ii)

अब चूँकि DBCG एक समांतर चतुर्भुज है तथा एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत: DG `=` BC

`implies DE + EG = BC`

`implies DE + DE = BC`

[ समीकरण (i) से]

`implies 2DE = BC`

`implies DE = 1/(2)BC` - - - - (iii)

समीकरण (ii) और समीकरण (iii) से

DE||BC और `DE=1/(2)BC`

अत: किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर और आधा होता है। प्रमाणित