If `A=[{:(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0):}]`, then which is true (a) `A^(3)-A^(2)=A-I` (b) det. `(A^(100)-I)=0` (c) `A^(200)=[(1,0,0),(100,1,0),(100,0,1)]` (d) `A^(100)=[(1,1,0),(50,1,0),(50,0,1)]`

Options

A. `A^(3)-A^(2)=A-I`
B. `Det(A^(2010)-I)=0`
C. `A^(50)=[{:(1,0,0),(25,1,0),(25,0,1):}]`
D. `A^(50)=[{:(1,1,0),(25,1,0),(25,0,1):}]`

Answer

A, B, C

Explanation

`(a,b,c)` `A^(2)=[{:(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0):}][{:(1,0,0),(1,0,1),(0,1,0):}]=[{:(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1):}]`
`A^(3)=[{:(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1):}][{:(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1):}]=[{:(1,0,0),(2,0,1),(1,1,0):}]`
`A^(3)-A^(2)=[{:(0,0,0),(1,-1,1),(0,1,-1):}]`and `A-I=[{:(0,0,0),(1,-1,1),(0,1,-1):}]`
`impliesA^(3)-A^(2)=A-I` and det `(A-I)=0`
`impliesDet|A^(n)-I)=Det((A-I)(1+A+A^(2)+...+A^(n-1)))`
`=Det(A-I)Det(1+A+A^(2)+....+A^(n-1))=0`
`A^(3)-A^(2)=A-I` ...........`(i)`
`impliesA^(4)-A^(3)=A^(2)-A`..........`(ii)`
`impliesA^(5)-A^(4)=A^(3)-A^(2)=A-I` (Using `(1)`)
If `n` is even `A^(n)-A^(n-1)=A^(2)-A`...........`(iii)`
If `n` is odd `A^(n)-A^(n-1)=A-I`..........`(iv)`
Consider `n` is even
`:.A^(n)-A^(n-1)=A^(2)-A`(Using `(iii)`)
`A^(n-1)-A^(n-2)=A-I` (Using `(iv)`)
On adding, we get
`A^(n)-A^(n-2)=A^(2)-I`
`impliesA^(n)-A^(n-2)+A^(2)-I`
`=A^(n-4)+A^(2)-I)+A^(2)-I`
`=(A^(n-6)+A^(2)-I)+2(^(2)-I)`
`=(A^(2))+(n-2)/(2)(A^(2)-I)`
`A^(n)=((n)/(2))A^(2)-((n-2)/(2))I`
`:.A^(50)=25A^(2)-24I`
`=25[{:(1,0,0),(1,1,0),(1,0,1):}]-24[{:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1):}]`
`=[{:(1,0,0),(25,1,0),(25,0,1):}]`