`P(A)=3//8; P(B)=1//2; P(AuuB)=5//8` , which of the following do/does hold good? a.`P(A^c//B)=2P(A//B^c)` b. `P(B)=2P(A//B^c)` c. `15 P(A^c//B^c)=8P(B//A^c)` d. `P(A^//B^c)=(AnnB)`

Options

A. `P(A^(C )//B)=2P(A//B^(C ))`
B. `P(B)=P(A//B)`
C. `15P(A^(c )//B^(C ))=8P(B//A^(C ))`
D. `P(A//B^(C ))=(AnnB)`

Answer

A, B, C, D

Explanation

`(a,b,c,d)` `P(AuuB)=P(A)+P(B)-P(AnnB)`
`(5)/(8)=(3)/(8)+(1)/(2)-P(AnnB)`
`impliesP(AnnB)=(2)/(8)=(1)/(4)`
Now `P(A^(C )//B)=(P(A^(C )nnB))/(P(B))=(P(B)-P(AnnB))/(P(B))`
`=1-(1//4)/(1//2)=(1)/(2)`
`2P(A//B^(C ))=(2P(AnnB^(C )))/(P(B^(C )))`
`=(2(P(A)-P(AnnB)))/(1-P(B))`
`=4((3)/(8)-(2)/(8))=(1)/(2)=P(A^(C )//B)`
`P(A//B)=(P(AnnB))/(P(B))=(1)/(4)*(2)/(1)=(1)/(2)=P(B)`
Again `P(A^(C )//B^(C ))=(P(A^(C )nnB^(C)))/(P(B^(C )))=(1-P(AuuB))/(1-P(B))`
`=2(1-(5)/(8))=(3)/(4)`
`P(B//A^(C ))=(P(BnnA^(C )))/(1-P(A))=(P(B)-P(AnnB))/(5//8)`
`((1)/(2)-(1)/(4))/((5)/(8))=(1)/(4)*(8)/(5)=(2)/(5)`
Hence `8P(A^(C )//B^(C))=15P(B//A^(C ))`
`2P(A//B^(C ))=(1)/(2)`
`impliesP(A//B^(C ))=(1)/(4)=P(AnnB)`