पृथ्वी के ऊपर किस ऊँचाई पर कोई उपग्रह चक्कर करता रहे की पृथ्वी के सापेक्ष स्थिर प्रतीत हो ? (दिया हुआ है - पृथ्वी की त्रिज्या = 6400 km पृथ्वी का द्रव्यमान = 6.03 `times 10^(24)` तथा `G=6.6 times 10^(-11)SI` मात्रक )

Explanation

पृथ्वी की सतह से उपग्रह स्थिर दिखाई देने के लिए यह आवश्यक है की उपग्रह के घूमने की दिशा पृथ्वी के घूमने की दिशा में हो तथा उपग्रह का कोणीय वेग पृथ्वी के कोणीय वेग के बराबर हो।
यदि पृथ्वी का द्रव्यमान M, पृथ्वी की त्रिज्या R, उपग्रह का द्रव्यमान m तथा पृथ्वी एवं उपग्रह के कोणीय वेग `omega` हों, तो
`" "momega^(2)(R+h)=G(Mm)/(R+h)^(2)`, जहाँ h पृथ्वी की सतह से उपग्रह की ऊँचाई है
या `(R+h)^(3)=(GM)/omega^(2)`, परन्तु `omega=(2pi)/T` जहाँ T परिक्रमण-काल है
`therefore (R+h)^(3)=(GM)/((2pi)/T)^(2)=(GMT)^(2)/(4pi^(2))` या `R+h=((GMT^(2))/(4pi^(2)))^(1//3)`
यहाँ `R=6400km=6400 times 10^(3)m, G=6.6 times 10^(-11)Nm^(2)kg^(-2)`,
`T=24h=24 times 60 times 60s` (चूँकि पृथ्वी को एक बार घूमने में का समय लगता है) तथा `M=6.03 times 10^(24)kg`
अतः, `6400 times 10^(3)+h=[(6.6 times 10^(11) times 6.03 times 10^(24) times (24 times 60 times 60)^(2))/(4 times (3.14)^(2))]^(1/3)`
`" "=((2.97 times 10^(24))/(39.44))^(1//3)=4.22 times 10^(7)`
या `h=(4.22 times 10^(7)-6400 times 10^(3))=42200000-6400000`
`" "=358 times 10^(5)m=35800km`
अतः, अभीष्ट ऊँचाई = 35800 km.