धातु का एक गोला 5 मिनट में `80^(@)C` से `70^(@)C` तक ठंडा हो जाता है तथा बाद के 5 मिनट में `62.5 ""^(@)C` तक ठंडा होता है। ऐसे घेरनेवाले माध्यम का ताप निकाले तथा बाद के 5 मिनट में गोले के ताप का भी मान निकाले।

Explanation

न्यूटन के शीतलन नियम से, `(d theta)/(theta- theta_(0))=-Kdt`, जहाँ `theta_(0)` वस्तु को घेरनेवाले माध्यम का ताप है। या `underset(theta_(1))overset(theta_(2))int (d theta)/(theta- theta_(0))= - int K dt= -Kt`
पहली स्थिति में, `theta_(1)= 80^(@)C, theta_(2)= 70^(@)C` तथा t=5 मिनट
`therefore underset(80)overset(70)int (d theta)/(theta- theta_(0))= -5K` या `ln ((70-theta_(0))/(80- theta_(0)))= -5K` ...(1)
दूसरी स्थिति में, `theta_(1)=70^(@)C, theta_(2)= 62.5^(@)C` तथा t=5 मिनट
`therefore underset(70)overset(62.5)int (d theta)/(theta- theta_(0))= -5K` या `ln ((62.5 - theta_(0))/(70- theta_(0)))= -5K` ...(2)
तीसरी स्थिति में, `theta_(1)= 62.5^(@)C, theta_(2)=x` (मान लिया) तथा t=5 मिनट
`therefore underset(62.5)overset(x)int (d theta)/(theta- theta_(0))= -5K` या `ln ((x- theta_(0))/(62.5 - theta_(0)))= -5K` ...(3)
समीकरण (2) में (1) से भाग देने पर,
`(ln ((62.5- theta_(0))/(70-theta_(0))))/(ln ((70-theta_(0))/(80-theta_(0))))=1` या `ln ((62.5- theta_(0))/(70- theta_(0)))= ln ((70 - theta_(0))/(80- theta_(0)))`
या `(62.5- theta_(0))/(70-theta_(0))= (70-theta_(0))/(80-theta_(0))` या `(62.5 -theta_(0)) xx (80-theta_(0))= (70-theta_(0))^(2)`
या `5000-62.5 theta_(0)- 80 theta_(0) + theta_(0)^(2) = 4900- 140 theta_(0) + theta_(0)^(2)`
या `theta_(0) (140-142.5)= 4900-5000` या `2.5 theta_(0)= 100` या `theta_(0)= 40""^(@)C`
`theta_(0)` का यह मान समीकरण (1) और (3) में रखने पर,
`ln ((70-40)/(80-40))= -5K` या `ln ((3)/(4))= -5K` ...(4)
तथा `ln ((x-40)/(62.5-40))= -5K` या `ln ((x-40)/(22.5))= -5K` ...(5)
अंत: समीकरण (4) और (5) से,
`ln ((x-40)/(22.5))= ln ((3)/(4))` या `(x-40)/(22.5)= (3)/(4)`
या `4x-160= 67.5` या 4x=227.5 या `x= (227.5)/(4)= 56.875^(@)C`
अंत: गोले को घेरनेवाले माध्यम का ताप =`40^(@)C` तथा बाद के 5 मिनट में गोले का ताप `=56.9^(@)C`