ज्यामितीय या किसी अन्य विधि द्वारा सदिशों की निम्नांकित अतुल्यता (inequalities) को प्रमाणित करे।
`|vec(A) + vec(B)| le |vec(A)| + |vec(B)|`
उपर्युक्त अवस्थाओं के ले समता का चिह्न ( equality sign ) कब मान्य होता है ?

Explanation

मान लिया कि `vec(OP)` तथा `vec(OQ)` से व्यक्त सदिश क्रमशः `vec(A)` एवं `vec(B)` समांतर चतुर्भुज OPRQ की आसन्न भुजाओ से व्यक्त है (चित्र 1.2 -1)। इसका परिणामी `vec(R)` परिमाण एवं दिशा में `vec(OR)` से व्यक्त है, अर्थात `vec(A) + vec(B) = vec(OR)`

`Delta OPR` से चूँकि त्रिभुज की एक भुजा अन्य दो भुजाओ के योगफल से छोटी होती है , अतः `OR lt OP + PR` अर्थात `OR lt OP + OQ`
अब चूँकि `|vec(OR)| = OR = |vec(A) + vec(B)|` तथा `OP = |vec(A)|, OQ = |vec(B)|`
`:. |vec(A) + vec(B)| lt |vec(A)| + |vec(B)|" "`. . . (1)
यदि `vec(A)` तथा `vec(B)` एक ही दिशा में किसी सरल रेखा के अनुदिश हो, तब
`|vec(A) + vec(B)| = |vec(A) |+ |vec(B)|" "`. . . (2)
अतः समीकरण (1) एवं (2) को एक साथ लेने पर
`|vec(A)+ vec(B)| le |vec(A)| + |vec(B)|` , प्रमाणित।