ज्यामितीय या किसी अन्य विधि द्वारा सदिशों की निम्नांकित अतुल्यता (inequalities) को प्रमाणित करे।
`|vec(A) + vec(B)| le |vec(A)| + |vec(B)|`
उपर्युक्त अवस्थाओं के ले समता का चिह्न ( equality sign ) कब मान्य होता है ?

Explanation

मान लिया कि `vec(OP)` तथा `vec(OQ)` से व्यक्त सदिश क्रमशः `vec(A)` एवं `vec(B)` समांतर चतुर्भुज OPRQ की आसन्न भुजाओ से व्यक्त है (चित्र 1.2 -1)। इसका परिणामी `vec(R)` परिमाण एवं दिशा में `vec(OR)` से व्यक्त है, अर्थात `vec(A) + vec(B) = vec(OR)`

चित्र 1.2-2 में `vec(OC)` द्वारा सदिश `vec(A) - vec(B)` व्यक्त किया गया है।
`Delta OPC` से `OC lt OP + PC`
या `|vec(A) - vec(B)|lt |vec(A)| + |- vec(B)|`
या `|vec(A) - vec(B)|lt |vec(A)| + | vec(B)|`
स्पष्टतः `|vec(A) - vec(B)|lt |vec(A)| + | vec(B)|" "`. . . (5)
यदि `vec(A)` तथा `vec(B)` एक ही सरल रेखा पर विपरीत दिशाओ में हो, तब
`|vec(A) - vec(B)|= |vec(A)| + | vec(B)| " "`. . . (6)

`:.` समीरकण (5) और (6) को एक साथ लेने पर,
`|vec(A) - vec(B)|le |vec(A)| + | vec(B)|,` प्रमाणित