x - एवं y-अक्षो के अनुदिश एकांक सदिश क्रमशः `hat(i)` एवं `hat(j)` है।
सदिश `hat(i) + hat(j)` तथा `hat(i) - hat(j)` के परिमाण एवं दिशाएँ ज्ञात करे।

Explanation

चित्र 1.2 - 4 में OX तथा OY अक्षो के अनुरेख एकांक सदिश `hat(i)` एवं `hat(j)` क्रमशः `vec(OP)` तथा `vec(OQ)` से दिखाए गए है और y-अक्ष कि ऋणात्मक दिशा में `vec(OQ) = - hat(j)`
सदिश के त्रिभुज नियम से,
`vec(OA) = vec(OP) + vec(PA) = hat(i)+ hat(j)`
तथा `vec(OB) = vec(OP) + vec(PB) = hat(i) + (- hat(j)) = hat(i) - hat(j)`
समकोण त्रिभुज OPA से
`OA^(2) = OP^(2) + PA^(2) = |hat(i)| ^(2) + |hat(j)|^(2)`
= 1 + 1 = 2
`OA = sqrt(2)`
`:. |hat(i) + hat(j)| = |vec(OA)| = OA = sqrt(2)`
यदि `vec(OA)` कि दिशा x-अक्ष से `theta` कोण बनाती हो
तो `tan theta = (OP)/(A) = (1)/(1) = 1`
`:. theta = 45^(@)`
इसी प्रकार `hat(i) - hat(j) = vec(OB)` तथा
`|vec(OB)| = OB = sqrt(OP^(2) + PB^(2) ) = srt(1 + 1) = sqrt(2)`
चित्र से स्पष्ट है कि `(hat(i) - hat(j))` की दिशा x-अक्ष से `(-45^(@))` का कोण बनाती है।

विकल्पतः `|hat(i)| = |hat(j)| = 1`
`:. |hat(i) + hat(j)| = sqrt(|hat(i)|^(2)+|hat(j)|^(2)+2|hat(i)|*|hat(j)|cos 90^(@))= sqrt(1^(2)+ 1^(2) + 0) = sqrt(2)`
यदि `(hat(i) + hat(j))` की दिशा x-अक्ष से `theta` कोण बनाती हो, तो
`tan theta = (|hat(j)|)/(|hat(i)|) = (1)/(1) = 1 ` या `theta = 45^(@)`
इसी प्रकार `|hat(i) - hat(j)| = sqrt(1^(2) + (-1)^(2) + 2(1)(-1)(cos 90^(@)))= sqrt(1 + 1) = sqrt(2)`
`tan theta = (-1)/(+1) = - 1 ` या `theta = - 45^(@)`