x - एवं y-अक्षो के अनुदिश एकांक सदिश क्रमशः `hat(i)` एवं `hat(j)` है।
यदि सदिश `vec(A) = 2 hat(i) + 3 hat(j)` , तो `vec(A)` के घटक (components) क्रमशः `(hat(i) + hat(j))` एवं `(hat(i) - hat(j))`के अनुदिश ज्ञात करे

Explanation

चित्र 1.2 - 5 में `vec(OP) = 2 hat(i)` तथा `vec(OQ) = 3 hat(i)`
`:.` त्रिभुज नियम से
`vec(OR) = vec(OP) + vec(PR) = vec(OP) + vec(OQ)`
या `|vec(A) | = sqrt(4 + 9) = sqrt(13)`
मान किया `vec(OR)` कि दिशा X- अक्ष से `alpha ` कोण बनाती है अतः
`tan alpha = (A_(y))/(A_(z)) = (PR)/(OP)= (3)/(2)`
`:. sin alpha = (3)/(sqrt(13)) , cos alpha = (2)/(sqrt(13))`
अब `vec(A)` एवं `(hat(i) + hat(j))` के बीच बना कोण `= alpha - 45^(@) = phi`
`:. vec(A) ` का `(hat(i) + hat(j))` के अनुरेख घटक `= |vec(A)| cos phi |2 hat(i) + 3 hat(j)| cos phi`
`= sqrt(13) cos (alpha - 45^(@)) = sqrt(13) (cos alpha * cos 45^(@) + sin alpha * sin 45^(@))`
`= sqrt(13) ((2)/(sqrt(13)) * (1)/(sqrt(2))+ (3)/(sqrt(13))*(1)/(sqrt(2))) = sqrt(13) ((5)/(sqrt(5) sqrt(13))) = (5)/(sqrt(2))`
इसी प्रकार `vec(A)` का घटक `(hat(i) - hat(j))` से अनुदिश
`= (hat(i) - hat(j))` की दिशा पर `vec(A)` का प्रक्षेप (projection)
`= a cos (alpha + 45^(@)) = a (cos alpha * cos 45^(@) - sin alpha * sin 45^(@))`
`= sqrt(13) ((2)/(sqrt(13))*(1)/(sqrt(2))-(3)/(sqrt(13))*(1)/(sqrt(2)))= sqrt(13) ((-1)/(sqrt(2)sqrt(13)))= - (1)/(sqrt(2)) `

विकल्पतः (दो सदिशो के अदिश गुणनफल (scalar product) के आधार पर इस प्रश्न को सहज रूप से हल किया जा सकता है।)
`vec(A) * vec(B) = AB cos theta = A_(x)B_(x) + A_(y) B_(y) + A_(z) B_(z)`
अब `vec(A)` का घटक `vec(B)` की दिशा में = `A cos theta` जहाँ कोण `theta = vec(A)` एवं `vec(B)` के बीच कोण
`:. vec(A) (- 2 hat(i) + 3 hat(j))` का घटक `vec(B) (- hat(i) + hat(j))` के अनुदिश `= a cos theta = (vec(A)* vec(B))/(B)`
`= (vec(A)* vec(B))/(B) = (2 hat(i) + 3 hat(j)) * ((hat(i) - hat(j)))/(|hat(i) - hat(j)|)`
`= ((2 - 3))/(sqrt(2)) = - (1)/(sqrt(2))` इसी प्रकार का घटक के अनुदिश