किसी 200 m ऊँची चट्टान के ऊपरी सिरे से दो पत्थरो को एक साथ क्रमशः `15 m s^(-1)` तथा `30 m s^(-1)` की प्रारंभिक चाल से ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर (vertically upward) फेंका जाता है। इस तथ्य का सत्यापन करे (verify ) कि चित्र 1.3 - 13 में प्रदर्शित ग्राफ पहले पत्थर के सापेक्ष दूसरे पत्थर कि आपेक्षिक स्थिति (relative position) का समय के साथ विचरण (variation) को सही रूप में व्यक्त करता है। (मान ले कि वायु प्रतिरोध नगण्य है और फर्श से टक्कर के बाद पत्थर तत्काल स्थिर हो जाते है , ऊपर कि ओर उछलते नहीं तथा `g = 10 m s^(-2)` ) ग्राफ के रेखीय (linear) एवं वक्रीय (curved) भागो के लिए समीकरण लिखे

Explanation

दो पत्थरो को जब भिन्न - भिन्न बेग से गुरुत्व के आधीन फेंका जाता है तब उनमे एक - दूसरे के लिए एकसमान आपेक्षिक चाल (uniform relative speed ) होती है तथा आपेक्षिक त्वरण शून्य होता है, क्योकि दोनों का त्वरण समान (अर्थात `vec(g)` ) रहता है। ऐसी स्थिति में एक पत्थर के सापेक्ष दूसरे की गति सरल रेखा में होती है। इसे गणितीय विधि में भी प्रमाणित कर सकरे है -
समय t पर स्थिति को x(t) से तथा चाल को v(t) से व्यक्त करे, तो
सूत्र `x(t) = x(0) = ut + (1)/(2) at^(2)` से
पत्थर 1 के लिए `x_(1) (t) = 200 + 15 t - 5t^(2) " " . . . (1)`
पत्थर 2 के लिए, `x_(2) (t) = 200 + 30 t - 5 t^(2)" ". . . (2)`
अब पत्थरो के बीच आपेक्षिक दुरी `x_(2) (t) - x_(1) (t) = 15 " ". . . (3)`
यह समीकरण t के पद में रैखिक संबंध (linear relation) व्यक्त करता है, अर्थात `(x_(2) - x_(1))` एवं समय t के बीच ग्राफ सरल रेखा होगा
समीकरण (1) से, पत्थर का उड़ान - काल `t_(1)` ज्ञात करने के लिए `x_(1) (t) = 0 = 200 + 15 t - 5t^(2)`
या `5 t^(2) - 15 t - 200 = 0` या `t^(2) - 3t - 40 = 0` या `(t - 8) (t + 5) = 0 :. t = 8 s`
इसी प्रकार दूसरे पत्थर के लिए समीकरण (2) से
`t^(2) - 6 t - 40 = 0 ` या `(t - 10) (t + 4) = 0, :. t_(1) = 10 s`
स्पष्टतः पत्थर 1 हवा में 8 s तक रहता है जबकि दूसरा पत्थर पहले पत्थर के जमीन पर आने के 2 s बाद जमीन पर आता है। दोनों पत्थरो के बीच आपेक्षिक दुरी का महत्तम मान समीकरण (3) से
`x_(2) - x_(1) = 15 t = 15 xx 8 = 120 m `
पत्थर 2 की स्थिति 8 s से 10 s के बीच गुरुत्वाधीन त्वरित होगी जिसे चित्र 1 . 3 - 13 में वक्र द्वारा दिखाया गया है।
दोनों पत्थरो के बीच आपेक्षिक चाल
`(= 15 m s^(-1))` भी ग्राफ से
`= (" महत्तम सापेक्षिक दुरी ")/(8 s) = (120 m)/(8 s) = 15 m s^(-1)`
इस प्रकार दिया गया ग्राफ निष्कर्षो की संतोषजनक व्याख्या करता है।