x-अक्ष के अनुदिश सरल आवर्त गति करते हुए किसी कण की तात्कालिक स्थिति को समय के फलन के रूप में निम्नांकित संबध द्वारा व्यक्त किया जाता है -
`x (t) = a cos (omega t + phi)`
यदि प्रारंभ में (अर्थात t = 0 पर ) कण की स्थिति 1 cm पर तथा चाल `omega cm s^(-1)` हो, तो कण के आयाम (amplitude) तथा प्रारंभिक कला - कोण (initial phase or epoch) ज्ञात करे। कण की कोणीय आवृत्ति (angular frequency) `pi s^(-1)` है। यदि कण की तात्कालिक स्थिति को समीकरण (1) से व्यक्त cosine फलन के बदले sine फलन समीकरण (2) से व्यक्त किया जाए :
`x (t) = B sin (omega t + alpha)`
तो प्रारंभिक प्रतिबंध (initial condition) समान रखते हुए कण के आयाम तथा प्रारंभिक कला - कोण ज्ञात करे।

Explanation

प्रश्न से, `x(t)=Acos(omegat+phi)` . . . (1)
प्रारंभिक प्रतिबंध `(t=0)` के कारण,
जब `t=0`, तक `x=1` cm
`:.` समीकरण (1) से, `1" cm"=Acos(omegaxx 0+phi)=A cos phi`
`:.Acosphi=1" cm"` . . . (2)
समीकरण (1) का समय t के सापेक्ष अवकलन करने पर, तात्क्षणिक वेग,
`v(t)=(dx(t))/(dt)=-A omegasin(omegat+phi)` . . . .(3)
फिर, `t=0` पर, `v=omega" cm s"^(-1)`, अतः समीकरण (3) से,
`omega" cm s"^(-1)=-A omega sin (omegaxx0+phi)=-A(omega" s"^(-1))sin phi`
`:." A "sin phi=-1" cm"` . . . .(4)
समीकरण (2) तथा (4) के वर्ग के योगफल से,
`A^(2)cos^(2)phi+A^(2)sin^(2)phi=("1 cm")^(2)+(-1" cm")^(2)="2 cm"^(2)`.
अतः अभीष्ट आयाम, `A=sqrt(2)" cm"`.
अब समीकरण (4) को समीकरण (2) से भाग देने पर,
`(A sin phi)/(A cos phi)=((-1" cm"))/((1" cm"))=-1`
या `tan phi=-1`
`:. phi=(3pi)/(4)` या `phi=(7pi)/(4)`.
अब निर्देश वृत्त के अनुसार `phi=(3pi)/(4)` में विस्थापन x ऋणात्मक है लेकिन `phi=(7pi)/(4)` के लिए x का मान धनात्मक है अतः, प्रारंभिक कला का अभीष्ट मान `=(7pi)/(4)`.
अब, यदि व्यक्त करने के लिए sine फलन प्रयुक्त हो, अर्थात
`x=B sin (omegat+alpha)` . . . (5)
तब, वेग `v=(dx)/(dt)=(d)/(dt)[B sin(omegat+alpha)]=Bomega cos (omegat+alpha)` . . . (6)
अब, `t=0` पर, `x=1` cm तथा `v=omega" cm s"^(-1)` लेने पर
समीकरण (5) से, `B sin alpha=1" cm"` तथा समीकरण (6) से, `B cos alpha=1" cm"`.
अतः, अभीष्ट आयाम `B=sqrt(2)" cm"`.
फिर, `(B sin alpha)/(B cos alpha)=1` या `tan alpha=1," ":. alpha=(pi)/(4)` या `(5pi)/(4)`.
निर्देश वृत्त के अनुसार प्रारंभिक कला के `pi/4` मान के लिए स्थिति (x) एवं वेग (v) दोनों आवश्यक शर्त के अनुसार धनात्मक है।
अतः, प्रारंभिक कला का अभीष्ट मान `alpha=(pi)/(4)`.