चित्र 1.11 -8 में प्रदर्शित 8 आयतन के किसी वायु - कक्ष (air chamber) की ऊर्ध्वाधर नली के अनुप्रस्थ - काट का क्षेत्रफल A है जिसमे द्रव्यमान की कोई गोली बिना किसी घर्षण के ऊपर - नीचे आ जा सकती है। यदि गोली को साम्यावस्था से थोड़ा नीचे दबाकर मुक्त छोड़ दिया जाए तो सिद्ध करे कि वह सरल आवर्त गति करेगी यदि कक्ष में बंद वायु के दाब एवं आयतन पर परिवर्तन समानतापीय (isothermal) हो, तो गोली के दोलन के आवर्तकाल का व्यंजक ज्ञात करे।

Explanation

यदि गोली को साम्यावस्था से नली में अल्प विस्थापन x दिया जाए तो बंद हवा के आयतन का परिवर्तन
`dV=Ax` . . . (1)
अब समतापीय परिवर्तन के लिए
`pV=` अचर
अवकलन करने पर, `pfV=Vdp=0`
या `dp=-(pdV)/(V)` . . . (2)
यहाँ p एवं V से क्रमशः वायुमंडलीय दाब तथा वायु-कक्ष के आयतन व्यक्त है।
`:.` गोली पर प्रत्यानयन बल `F=Adp=-(ApdV)/(V)`
`:.` गोली का त्वरण `a=(F)/(m)=-(Ap(Ax))/(mv)" "` [समीकरण (1) से]
या `a=-(A^(2)p)/(mV)x` . . . (3)
अतः, त्वरण (a) `prop-` विस्थापन (x)
`:.` गोली सरल आवर्त गति करेगी।
अब, सरल आवर्त गति के लिए
`a=-omega^(2)x` . . . (4)
समीकरण (3) तथा (4) की तुलना करने पर,
`omega^(2)=(A^(2)p)/(mV)`
`:.omega=(2pi)/(T)=Asqrt((p)/(mV))`
`:.T=(2pi)/(A)sqrt((mV)/(p))`.
यदि हवा का आयतन प्रत्यास्था गुणांक B हो, तो समतापीय के लिए p = B
`:.` आवर्तकाल का अभीष्ट व्यंजक `=(2pi)/(A)sqrt((mV)/(B))`.