प्रमाणित करे कि किसी कण की सरल आवर्त - गति के एक पूर्ण दोलन में गतिज ऊर्जा एवं स्थितिज ऊर्जा के माध्य मान (average values ) समान होते है

Explanation

सरल आवर्त गति में कण का तात्क्षणिक विस्थापन `x=A sin omegat`
तथा तात्क्षणिक चाल `v=(dx)/(dt)=A omega cos omegat`.
समय t के फलन के रूप में कण की गतिज ऊर्जा `"KE"=1/2mA^(2)omega^(2)cos^(2)omegat`
तथा स्थितिज ऊर्जा `U=1/2m omega^(2)x^(2)=1/2momega^(2)A^(2)sin^(2)omegat`
किसी फलन के माध्य मान की परिभाषा के अनुसार
`x=a` तथा `x=b` सीमांतो के बीच फलन `f(x)` का माध्य मान
`[f(x)]_(av)=(1)/((b-a))int_(a)^(b)f(x)dx`.
स्पष्टतः, एक संपूर्ण आवर्तकाल T के अंतराल में, KE एवं PE के माध्य मान,
`(KE)_(av)=1/Tint_(0)^(T)momega^(2)A^(2)cos^(2)omegat*dt=(momega^(2)A^(2))/(2T)int_(0)^(T)cos^(2)omegatdt`
`=(momega^(2)A^(2))/(2Txx2)int_(0)^(T)2cos^(2)omegat dt=(momega^(2)A^(2))/(4T)int_(0)^(T)(1+cos 2 omegat)dt`
`=(momega^(2)A^(2))/(4T)[t+(1)/(2omega)sin2 omegat]_(0)^(T)=1/4momega^(2)A^(2)`
इसी प्रकार, `(PE)_(av)=1/Tint_(0)^(T)1.2m omega^(2)A^(2)sin^(2)omegat*dt`
`=(momega^(2)A^(2))/(2Txx2)int_(0)^(T)(1-cos2 omegat)dt`
`=(m omega^(2)A^(2))/(4T)[t-(1)/(2omega)sin 2omegat]_(0)^(T)`
`=1/4momega^(2)A^(2)`
अतः, एक पूर्ण दोलन में गतिज एवं स्थितिज ऊर्जाओं के माध्य मान `=1/4momega^(2)A^(2)` तथा यह माध्य मान कुल यांत्रिक ऊर्जा `=(=1/2momega^(2)A^(2))` का आधार है प्रमाणित ।