किसी डोरी पर कोई प्रगामी गुणावृत्ति तरंग इस प्रकार व्यक्त की गई है।
`y(x, t)=7.5sin(0.0050x+12t+(pi)/(4))`
(a) x = 1cm तथा t = 1s पर किसी बिन्दु पर विस्थापन तथा दोलन की चाल ज्ञात कीजिए क्या यह चाल तरंग संचरण की चाल के बराबर है।
(b) डोरी के उन बिन्दुओं की अवस्थिति ज्ञात कीजिए जिनका अनुप्रस्थ विस्थापन तथा चाल उतनी ही है। जितनी x = 1cm पर स्थिति बिन्दु की समय t=2s, 5s तथा 11s पर है।

Explanation

प्रगामी गुणावृत्ति तरंग के लिए किसी कण के विस्थापन का दिया गया समीकरण है
`y(x,t)=(7.5cm)sin{(0.0050cm^(-1))x+(12s^(-1))t+(pi)/(4)}...(1)`
या `y(x,t)=(7.5cm)sin[(0.0050cm^(-1)){((12s^(-1)))/((0.0050cm^(-1)))t+x}+(pi)/(4)]`
इस समीकरण के साथ `-x` दिशा में संचरित प्रगामी गुणावृत्ति तरंग के सामान्य समीकरण
`y(x,t)=asin[(2pi)/(lambda)(vt+x)+phi_(0)]...(2)`
की तुलना करने पर
`a=7.5cm`,
`(2pi)/(lambda)=0.0050cm^(-1)`,
`v=(12s^(-1))/(0.0050cm^(-1))=2400cms^(-1)`.
(a) `x=1cm` और `t=1s` पर विस्थापन समीकरण (1) से,
`y(1cm,1s)=(7.5cm)sin{(0.0050cm^(-1))(1cm)+(12s^(-1))(1s)+(pi)/(4)}`
`=(7.5cm)sin(0.0050+12+(3.14)/(4))`
`=(7.5cm)sin(12.0050+0.785)`
`=(7.5cm)sin(12.79" rad")`
`=(7.5cm)sin(733^(@))[because pi" rad"=180^(@),therefore1"rad"=(180^(@))/(3.14)=57.3^(@)]`
`=(7.5cm)sin(720^(@)+13^(@))`
`=(7.5cm)sin13^(@) [becausesin(720^(@)+theta)=sintheta]`
`=7.5cmxx0.2250`
`=1.69cm`.
प्रगामी तरंग के संचरण में माध्यम के किसी कण की चाल समीकरण (1) के y का (x को नियत रखते हुए) t के सापेक्ष अवकळा जिसे आंशिक अवकळा कहा जाता है, अतः कण की चाल
`(dely)/(delt)=[(7.5cm)cos{(0.0050cm^(-1))x+(12s^(-1))t+(pi)/(4)}](12s^(-1))`
`=(90cms^(-1))cos{(0.0050cm^(-1))x+(12s^(-1))t+(pi)/(4)}`
`x=1cm` तथा `t=1s` पर कण की चाल
`=(90cms^(-1))cos{(0.0050cm^(-1))(1cm)+(12s^(-1))(1s)+(pi)/(4)}`
`=(90cms^(-1))cos(0.0050+12+(3.14)/(4))`
`=(90cms^(-1))cos13^(@)` [जैसा कि ऊपर हल किया गया है।]
`=(90cms^(-1))(0.9744)`
`=87.7cms^(-1)`
यह चाल तरंग के संचरण की चाल जो कि `2400cms^(-1)` है, के बराबर नहीं है।
(b) तरंगदैर्ध्य की परिभाषा से, डोरी पर `x=1cm` के बिंदु से `pmlambda,pm2lambda,pm3lambda,...` की दूरियों के सभी बिंदुओं पर कण का विस्थापन t के सभी मानो के लिए वही होगा जो `x=1cm` के बिंदु पर है।