सदिश `vec(a) = 3vec(i) + 2vec(j)` और `vec(b) = 2vec(i) + vec(j)` के बीच का कोण ज्ञात करे।

Explanation

माना की सदिश `vec(a)` और `vec(b)` धनात्मक X- अक्ष के साथ क्रमश `theta_(1)` और `theta_(2)` कोण बनता है तब `tan theta_(1) = (2)/(3)` तथा `tan theta_(2) = (1)/(2)` दोनों सदिशों के बीच का कोण `= theta_(1) - theta_(2)`

`tan (theta_(1) - theta_(2)) = (tan theta_(1) - tan theta_(2))/(1+tantheta_(1)tantheta_(2))`
`((2)/(3)-(1)/(2))/(1+(2)/(3)xx(1)/(2))=(1)/(8)`
`theta_(1) - theta_(2) = tan^(-1) + (1)/(8)`
विधि II :
`vec(a).vec(b)=(3vec(i)+2vec(j)).(2vec(i)+vec(j))`
`=vec(6i).vec(i)+vec(3i).vec(j) + vec(4j).vec(i)+2vec(j).vec(j)`
`=6+2=8[thereforevec(i).vec(j)=vec(j).vec(i)="शून्य और "vec(i).vec(i)=vec(j).vec(j)=1]`
समीकरण (4.38),
`|a|=sqrt(a_(x)^(2)+a_(y)^(2))=sqrt(3^(2)+2^(2))=sqrt(9+4)=sqrt(13)`
`|b| = sqrt(a_(x)^(2)+b_(y)^(2))=sqrt(2^(2)+1^(2))=sqrt(4+1)=sqrt(5)`
`therefore vec(a). vec(b) = ab cos theta` जहाँ `theta` = सदिश `vec(a)` और `vec(b)` के बीच का कोण है
`therefore8=sqrt(13)xxsqrt(5)costheta=sqrt(65)costheta`
`costheta=(8)/(sqrt(65))` यानि `tan theta = (1)/(8)`
`thereforetheta=cos^(-1)((8)/(sqrt(65)))=tan^(-1) ((1)/(8))` विधि III : शून्य + `3 vec(k) - 4vec(k)` + शून्य = - `vec(k)`
`therefore vec(a)xx vec(b)=ab sin theta.vec(n)`
`|vec(a)xxvec(b)|=ab sin theta|vec(n)|`
`=sqrt(13)sqrt(5)sintheta.`
`therefore sin theta = ((1)/(sqrt(65)))=tan^(-1)((1)/(8))`
`theta sin^(-1)((1)/(sqrt(65)))=tan^(-1)((1)/(8))`