एक समानान्तर चतुर्भुज के दोनों कर्ण सदिश `3vec(i)+vec(j)-vec(2k)` और `vec(i) - 3vec(j) + vec(4k)` से व्यक्त किये जाते हैं। इस समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

Explanation

पहली विधि : माना कि ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है (चित्र-2.39) जिसका कर्ण `A vec (C ) = 3 vec(i) + vec(j) - 2vec(k)` और कर्ण `D vec(B) = vec(i) - 3vec(j) + 4 vec(k)` .

चूँकि समानान्तर चतुर्भुज के कर्ण एक-दूसरे को समद्विभाग करते है
`thereforeAvec(O)=(1)/(2)Avec(C)=(1)/(2)(3vec(i)+vec(j)-2vec(k))`
ओर `Ovec(B)=(1)/(2)Dvec(B)=(1)/(2)(vec(i)-3vec(j)+4vec(k))`
समानान्तर चतुर्भुज ABCD का सदिश क्षेत्रफल `= 4 Delta AOB` का सदिश
क्षेत्रफल `4 xx (1)/(2) Avec(O) xx Ovec(B)`
`=4xx(1)/(2)[(1)/(2)(3vec(i)+vec(j)-2vec(k))xx(1)/(2)(vec(i)-3vec(j)+4vec(k))]`
`=(1)/(2)|(vec(i),vec(j),vec(k)),(3,1,-2),(1,-3,4)|` `=-(vec(i)+vec(7j)+5vec(k))`
अतः अदिश क्षेत्रफल `=sqrt(1^(2)+7^(2)+5^(2))=sqrt(75)=5sqrt(3)` वर्ग मात्रक
दूसरी विधि : माना कि `Avec(B)=vec(a)` ओर `Bvec(C)=vec(b)`

तब `Avec(B)+Bvec(C)=Avec(C)`
या `vec(a)+vec(b)=3vec(i)+vec(j)-2vec(k)`
या `-vec(b)+vec(a)=vec(i)-3vec(j)+4vec(k)`
समीकरण (i) और (it) को जोड़ने पर
`vec(2a)=vec(4i)-vec(2i)+vec(2k)`
`therefore vec(a)=vec(2i)-vec(j)+vec(k)`
समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,
`2vec(b)=vec(2i)+vec(4j)-vec(6k)`
`therefore vec(b)=vec(i)+2vec(j)-3vec(k)`
ABCD समानातर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
`=Avec(B) xx Bvec(C)`
`=vec(a)xxvec(b)`
`=(2vec(i)xxvec(j)+vec(k))xx(vec(i)+2vec(j)-3vec(k))`
`=|(vec(i),vec(j),vec(k)),(2,-1,1),(1,2,-3)|`
`=vec(i)(3-2)+vec(j)(1+6)+vec(k)(4+1)`
`=vec(i)+7vec(j)+5vec(k)`
अतः अदिश क्षे० = `sqrt(1^(2)+7^(2)+5^(2))=sqrt(175)=5sqrt(3)` वर्ग मात्रक